一，溫度擴(kuò)散問題：
假設(shè)有三個房間，房間初始溫度分別為：高、中、低，但經(jīng)過一段時間后，三個房間互相交換熱量，最終穩(wěn)定在同一個溫度上。假設(shè)房間溫度分別為：$X_1,X_2,X_3$，如圖：

溫度$X_i(t)$是時間的函數(shù)

二，建立微分方程組：
根據(jù)溫度變化率，建立數(shù)學(xué)模型：${X_1}^{\prime }=a(X_3?X_1)+a(X_2?X_1)$，a是傳導(dǎo)常數(shù)
化簡：${X_1}^{\prime }=?2a{X}_1+a{X}_2+a{X}_3$
假設(shè)a=1：${X_1}^{\prime }=?2X_1+X_2+X_3$
同理，建立方程組：
$?\begin{array}{c}{X_1}^{\prime }=?2X_1+X_2+X_3\\ {X_2}^{\prime }=X_1?2X_2+X_3\\ {X_3}^{\prime }=X_1+X_2?2X_3\end{array}$
用矩陣表示：
$?\begin{array}{c}{X_1}^{\prime }\\ {X_2}^{\prime }\\ {X_3}^{\prime }\end{array}?=?\begin{array}{ccc}?2& 1& 1\\ 1& ?2& 1\\ 1& 1& ?2\end{array}??\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\\ X_3\end{array}?$

三，求特征值$\lambda$和特征向量$x$：
$\left|A?\lambda I\right|=?\begin{array}{ccc}?2?\lambda & 1& 1\\ 1& ?2?\lambda & 1\\ 1& 1& ?2?\lambda \end{array}?=0$
解得：${\lambda }_1=0，{\lambda }_2=?3，{\lambda }_3=?3$

將${\lambda }_1=0$代入$?\begin{array}{ccc}?2?\lambda & 1& 1\\ 1& ?2?\lambda & 1\\ 1& 1& ?2?\lambda \end{array}??\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}?=0$，得：$?\begin{array}{ccc}?2& 1& 1\\ 1& ?2& 1\\ 1& 1& ?2\end{array}??\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}?=0$

解得$?\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}?=c_1?\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}?$

物理洞察力：因為當(dāng)經(jīng)過一段時間后三個房間的溫度一樣，所以解應(yīng)該是$c_1?\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}?$，$c_1$為任意常數(shù)

將${\lambda }_2={\lambda }_3=?3$代入$?\begin{array}{ccc}?2?\lambda & 1& 1\\ 1& ?2?\lambda & 1\\ 1& 1& ?2?\lambda \end{array}??\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}?=0$，得：$?\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}??\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}?=0$

設(shè)自由變量$x_1=0$，得$?\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}?=c_2?\begin{array}{c}0\\ 1\\ ?1\end{array}?$

設(shè)自由變量$x_2=0$，得$?\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}?=c_3?\begin{array}{c}1\\ 0\\ ?1\end{array}?$

多余解（線性相關(guān)的解）：$?\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}?=c_2?\begin{array}{c}0\\ 1\\ ?1\end{array}??c_3?\begin{array}{c}1\\ 0\\ ?1\end{array}?=c_4?\begin{array}{c}?1\\ 1\\ 0\end{array}?$

四，方程組的通解：
$?\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\\ X_3\end{array}?=c_1?\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}?+c_2?\begin{array}{c}0\\ 1\\ ?1\end{array}?e^{?3t}+c_3?\begin{array}{c}1\\ 0\\ ?1\end{array}?e^{?3t}$
當(dāng)時間t→∞時，e^{-3t}→0，$c_2?\begin{array}{c}0\\ 1\\ ?1\end{array}?e^{?3t}$和$c_3?\begin{array}{c}1\\ 0\\ ?1\end{array}?e^{?3t}$為暫態(tài)解，$c_1?\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}?$為穩(wěn)態(tài)解

五，完備特征值和不完備特征值：

完備特征值：如果$\lambda$是重復(fù)特征值，并且可找到足夠的線性不相關(guān)的特征向量，來構(gòu)造所需數(shù)量的獨立解。這種重復(fù)特征值叫完備特征值。

不完備特征值：如果$\lambda$是重復(fù)特征值，但找不到到足夠的線性不相關(guān)的特征向量，來構(gòu)造所需數(shù)量的獨立解。這種重復(fù)特征值叫不完備特征值。

六，主軸定理（譜定理）：
如果A是實數(shù)nxn的對稱矩陣，那么A的所有特征值都是完備的。

七，處理復(fù)數(shù)特征值：
例題：$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ ?1& ?1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$，求$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

根據(jù)$\lambda$的性質(zhì)：${\lambda }_1+{\lambda }_2=0$，${\lambda }_1\times {\lambda }_2=1$，解得：${\lambda }_1=i$，${\lambda }_2=?i$

將${\lambda }_1=i$帶入（不需要兩個$\lambda$都帶入，因為解都是一樣的，只是帶負(fù)號）得：$\left[\begin{array}{cc}1?i& 2\\ ?1& ?1?i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=0$

設(shè)自由變量$x=1$，得$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ \frac{?1+i}{2}\end{array}\right]$

復(fù)數(shù)解為：$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ \frac{?1+i}{2}\end{array}\right]e^{it}$

分開實部和虛部：$\left[\begin{array}{c}1\\ \frac{?1+i}{2}\end{array}\right]e^{it}=\left(\left[\begin{array}{c}1\\ ?\frac{1}{2}\end{array}\right]+i\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{2}\end{array}\right]\right)\left(cos(t)+isin(t)\right)$

取出實數(shù)部分：$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ ?\frac{1}{2}\end{array}\right]cos(t)?\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{2}\end{array}\right]sin(t)$，$\{\begin{array}{c}x=cos(t)\\ y=?\frac{1}{2}(cos(t)+sin(t))\end{array}$

取出虛數(shù)部分：$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=i\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{2}\end{array}\right]cos(t)+i\left[\begin{array}{c}1\\ ?\frac{1}{2}\end{array}\right]sin(t)$，$\{\begin{array}{c}x=isin(t)\\ y=\frac{1}{2}(icos(t)?isin(t))\end{array}$

如果將x帶入y，消去t，會得到一個關(guān)于x和y的二次多項式，等于0，圖像是橢圓，隨著t變化，它的值會以2π為周期旋轉(zhuǎn)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的第二十六讲 有特殊特征值的微分方程组的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。