模擬物體變形最簡單的方法就是采用彈簧質點系統（Spring-Mass System），由于模型簡單并且實用，它已被廣泛應用于服飾、毛發以及彈性固體的動態模擬。對于三角網格而言，彈簧質點系統將網格中的頂點看作系統中的質點，而網格的邊則是連接這些質點的彈簧。這樣，彈簧質點系統模型就將物體簡化成由彈簧和質點組成的系統，并利用彈簧質點的運動規律來描述物體的彈性變形過程。

　　Verlet積分是求解牛頓運動方程的數值方法，原理簡單描述如下：首先將系統t+dt時刻的位置x(t+dt)以及系統t-dt時刻的位置x(t-dt)用泰勒公式展開：

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　　上面兩式相加后得到：

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　　進一步變化得到：

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　　因此通過上式可以根據系統前兩時刻的狀態求解系統的當前狀態，這與”基于網格的波動方程模擬“一文中的求解過程有些類似。

　　為了真實模擬物體變形效果，需要對彈簧質點系統進行受力分析：1. 每個質點有自身重力的影響；2. 每個質點受到與它相連的彈簧彈力影響，彈簧彈力遵守胡克定律；3. 質點運動時受到與其速度成正比的阻尼約束；4. 質點會受到其他外力的影響，由于施加的外力在每個三角面片上有一個法向分量，我們只需對每個質點周圍三角片上的這些分量相加即可。

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% constrains option wind = false; ball = true; pins = false;figure('Position', [400, 400, 400, 320]); fh = drawMesh(V,F,'facecolor','y','edgecolor','none'); if ballcenter = [50 60 -80];radius = 40;drawSphere([center radius], 'facecolor','r', 'nPhi',96, 'nTheta',48); end if pinsplot3([-10;110], [0;0], [0;0], 'k-', 'linewidth',2); end view([-30 20]) axis equal axis off axis([-10 100 -10 100 -110 0]); camlight lighting gouraudset(gca, 'position', [0 0 1 1]);% initial condition x_pre = V; x_cur = V;% rest length E = edges(F); l0 = vectorNorm3d(V(E(:,1),:) - V(E(:,2),:)); nV = size(V,1); draw_t = 0; tic; while true% spring forceFs = stiffness * (vectorNorm3d(x_cur(E(:,1),:) - x_cur(E(:,2),:)) - l0);dir = normalizeVector3d(x_cur(E(:,2),:) - x_cur(E(:,1),:));M1 = sparse(E, E, [Fs.*dir(:,1);-Fs.*dir(:,1)]);M2 = sparse(E, E, [Fs.*dir(:,2);-Fs.*dir(:,2)]);M3 = sparse(E, E, [Fs.*dir(:,3);-Fs.*dir(:,3)]);as = [diag(M1), diag(M2), diag(M3)] ./ m;% wind forceaw = zeros(nV,3);if windN = normalizeVector3d(normals(x_cur,F));Fw = N * wind_force(i/10)' .* wind_strength; M1 = sparse(F, F, repmat(Fw.*N(:,1),1,3));M2 = sparse(F, F, repmat(Fw.*N(:,2),1,3));M3 = sparse(F, F, repmat(Fw.*N(:,3),1,3));aw = [diag(M1), diag(M2), diag(M3)] ./ m;end% verlet integration with a simple damping modelx_new = drag*(x_cur - x_pre) + x_cur + bsxfun(@plus, as+aw, g)*dt*dt;x_pre = x_cur;x_cur = x_new;% ball constrainsif balldiff = bsxfun(@minus, x_cur, center);index = vectorNorm3d(diff) < radius+1;x_cur(index,:) = bsxfun(@plus, center, bsxfun(@times, normalizeVector3d(diff(index,:)), radius+1));end% pin constrainsif pinsx_pre(pin_idx,:) = V(pin_idx,:);x_cur(pin_idx,:) = V(pin_idx,:);end% updata figure
if toc > 0.033set(fh, 'Vertices', x_cur);drawnow;
tic;end end

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的网格弹簧质点系统模拟（Spring-Mass System by Verlet Integration）附源码的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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