分割平面和空間的相關公式

今天遇到一個折線切割平面的問題，習慣性的百度了一下，把自己搜集到的資料整理了一下。這些東西都是些數(shù)學問題，在另一方面證明了數(shù)學的神奇和博大精深。很佩服先賢們能夠推到出這么神奇的公式出來。

這類題目相對而言比較簡單，如果知道了遞推公式剩下的事情就非常簡單了。所以遞推公式是最重要的。這一個類型的題目還是從簡單的入手，才容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。至于這些題目的代碼我在這就不寫了，相信各位研究完遞推公式之后就能夠很輕松的寫出來。

(1) n條直線最多分平面問題

?????? 題目大致如:n條直線，最多可以把平面分為多少個區(qū)域。

?????? 析:可能你以前就見過這題目，這充其量是一道初中的思考題。當有n-1條直線時，平面最多被分成了f（n-1）個區(qū)域。則第n條直線要是切成的區(qū)域數(shù)最多，就必須與每條直線相交且不能有同一交點。 這樣就會得到n-1個交點。這些交點將第n條直線分為2條射線和n-2條線斷。而每條射線和線斷將以有的區(qū)域一分為二。這樣就多出了2+（n-2）個區(qū)域。

????????? 故：f(n)=f(n-1)+n

?????????????????????? =f(n-2)+(n-1)+n

?????????????????????? ……

?????????????????????? =f(1)+1+2+……+n

?????????????????????? =n(n+1)/2+1

? (2) 折線分平面（hdu2050）

??????? 根據(jù)直線分平面可知，由交點決定了射線和線段的條數(shù)，進而決定了新增的區(qū)域數(shù)。當n-1條折線時，區(qū)域數(shù)為f（n-1）。為了使增加的區(qū)域最多，則折線的兩邊的線段要和n-1條折線的邊，即2*（n-1）條線段相交。那么新增的線段數(shù)為4*（n-1），射線數(shù)為2。但要注意的是，折線本身相鄰的兩線段只能增加一個區(qū)域。

??????? 故：f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1

?????????????????????? =f(n-1)+4(n-1)+1

????????????????????? =f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2

????????????????????? ……

????????????????????? =f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)???

????????????????????? =2n^2-n+1

?(3) 封閉曲線分平面問題

?????? 題目大致如設有n條封閉曲線畫在平面上，而任何兩條封閉曲線恰好相交于兩點，且任何三條封閉曲線不相交于同一點，問這些封閉曲線把平面分割成的區(qū)域個數(shù)。

??????? 析：當n-1個圓時，區(qū)域數(shù)為f(n-1).那么第n個圓就必須與前n-1個圓相交，則第n個圓被分為2（n-1）段線段，增加了2（n-1）個區(qū)域。

????????????? 故： f(n)=f(n-1)+2(n-1)?????

????????????????????????????? =f(1)+2+4+……+2(n-1)

????????????????????????????? =n^2-n+2

(4)平面分割空間問題（hdu1290）

?????????? 由二維的分割問題可知，平面分割與線之間的交點有關，即交點決定射線和線段的條數(shù)，從而決定新增的區(qū)域數(shù)。試想在三維中則是否與平面的交線有關呢？當有n-1個平面時，分割的空間數(shù)為f（n-1）。要有最多的空間數(shù)，則第n個平面需與前n-1個平面相交，且不能有共同的交線。即最多有n-1 條交線。而這n-1條交線把第n個平面最多分割成g（n-1）個區(qū)域。（g（n）為（1）中的直線分平面的個數(shù) ）此平面將原有的空間一分為二，則最多增加g（n-1）個空間。

???????? 故：f=f(n-1)+g(n-1)???? ps:g(n)=n(n+1)/2+1

??????????????????? =f(n-2)+g(n-2)+g(n-1)

??????????????????? ……

?????????????????? =f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1)

????????????????? =2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+（n-1）

????????????????? =(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1

???????????????? =(n^3+5n)/6+1

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的平面分割的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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