F(n)完全覆盖中的计数问题
這幾天閱讀周沛耕老師主編的《數(shù)學(xué)?興趣與創(chuàng)造力》一書，讀到“完全覆蓋中的計(jì)數(shù)問題”這一節(jié)，感覺有點(diǎn)意思。于是自已試著做一個(gè)探索性研究，也不知會(huì)有什么新的發(fā)現(xiàn)，讓我們帶著一顆好奇的心開始我們的探索之旅。
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完全覆蓋指的是用一個(gè)長1寬2（以后記為12）的矩形小紙片去覆蓋一個(gè)大小為的矩形網(wǎng)格盤，要求小紙片不重疊、不伸出且不留空地，也就是不多不少恰好把矩形盤蓋住。問這樣的蓋法有多少種？
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處理這樣的問題，我們當(dāng)然是由易到難，由具體到抽象。先把這個(gè)大問題分解為幾個(gè)小問題來逐步解決。
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問題一：若矩形盤為，則蓋法有多少種？
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答：顯然，如果k為奇數(shù)時(shí)，肯定無法完全覆蓋，即蓋法為0種.
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如果k為偶數(shù)時(shí)，蓋法為1種。
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問題二：若矩形盤為，則蓋法有多少種？
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答：首先小紙片的放法有橫放和豎放兩種。如圖所示：
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如果k=1時(shí)，小紙片只能豎著放一張，蓋法只有一種。記為；
如果k=2時(shí)，小紙片用兩張，可以都橫著放，也可以都豎著放，蓋法有兩種。記為；
如果k=3時(shí)，從矩形盤的左上角起，若第一張紙片豎著放，則剩下的矩形盤為，蓋法有2種；若第一張紙片橫著放，則剩下的矩形盤為，蓋法有1種，故k=3時(shí)，蓋法共有3種，記為。如圖所示：
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如果k=4時(shí)，同樣從矩形盤的左上角起，若第一張紙片豎放，剩余的矩形盤為，蓋法有種；若第一張紙片橫放，剩余的矩形盤為，蓋法有種。故k=4時(shí)，蓋法共有種。如圖所示
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以此類推，可知
當(dāng)k=n時(shí)，蓋法種數(shù)為。
很明顯，數(shù)列就是著名的斐波那契數(shù)列。由斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式就可徹底解決問題二。
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到此，我們的探究才剛開了個(gè)頭，還有更深更有趣的問題，引領(lǐng)我們繼續(xù)前行。
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問題三：若矩形盤為，則完全覆蓋它的蓋法有多少種呢？
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分析：首先要想用紙條完全覆蓋矩形盤，則矩形盤中的小正方形個(gè)數(shù)必為偶數(shù)，故這一問題中的k只能取正偶數(shù)。
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當(dāng)k=2時(shí)，從矩形盤的左上角起，若第一張小紙條豎放，則下面必然要橫放一張，此時(shí)剩下的矩形盤為，故覆蓋的方法有1種；
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若第一張小紙條橫放，則剩余的矩形盤為，故覆蓋方法有2種；
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所以k=2時(shí)，覆蓋方法共有3種。記為。如圖所示
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當(dāng)k=4時(shí)，此時(shí)如果我們?nèi)圆捎檬讖垯M放、首張豎放的方法分兩類來討論，就會(huì)發(fā)現(xiàn)問題相當(dāng)復(fù)雜，根本不可求解。于是我們必須探索新的解決方法。
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首先計(jì)數(shù)問題，分類計(jì)數(shù)仍是我們主要的思索方向。只是分類的標(biāo)準(zhǔn)我們要作出調(diào)整。對(duì)于的矩形盤，共有12個(gè)小正方形。要想完全覆蓋，一定要用的小紙條6張。只是其中有些橫放，有些豎放。橫放的最多有6條，豎放的最多有4條。
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于是我們以豎放的小紙條條數(shù)為分類標(biāo)準(zhǔn)。
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?當(dāng)豎放的小紙條有4條時(shí)，覆蓋方法有如圖下面四種情況：
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當(dāng)豎放的小紙條有且只有3條時(shí)，經(jīng)實(shí)驗(yàn)可知不能完全覆蓋；
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當(dāng)豎放的小紙條有且只有2條時(shí)，覆蓋方法有如圖下面六種情況：
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當(dāng)豎放的小紙條有且只有1條時(shí)，經(jīng)實(shí)驗(yàn)可知不能完全覆蓋；
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當(dāng)豎放的小紙條有且只有0條時(shí)，覆蓋方法則有且僅有一種。
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綜上所述，可知k=4時(shí)，覆蓋種數(shù)共有4+6+1=11種。記為。
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此時(shí)對(duì)于的矩形盤覆蓋問題雖然得到了解決，但這個(gè)方法還是有點(diǎn)缺陷，因?yàn)樗玫搅肆信e法、實(shí)驗(yàn)法，對(duì)于數(shù)目不太大時(shí)比較實(shí)用，數(shù)目再大時(shí)估計(jì)，這種方法是不可行的。
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再聯(lián)想前面對(duì)于矩形盤覆蓋問題的處理，我們能否把的矩形盤分割成小一些的的矩形盤來處理。在分割過程中，由于可能出現(xiàn)把一張小紙片分割成兩小正方形的情況，于是我們的分類標(biāo)準(zhǔn)就是，看分割線分割了幾張小紙片。
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把的矩形盤沿中間分割成兩個(gè)的矩形盤，分割線可能割0張小紙片或2張小紙片。（為什么請(qǐng)讀者思考？繼續(xù)讀下去，你會(huì)找到答案。）
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???當(dāng)分割線割0張小紙片時(shí)，分割線左右兩側(cè)各有一個(gè)的矩形盤，每個(gè)矩形盤的覆蓋方法有種，故此時(shí)的覆蓋方法有種；
???當(dāng)分割線割2張小紙片時(shí)，覆蓋方法如圖所示有兩種;
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綜上所述，當(dāng)k=4時(shí)，覆蓋方法種數(shù)為11種。
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顯然這種方法比前面的方法還是有優(yōu)越性，分類的種數(shù)較少，計(jì)算也比較簡(jiǎn)便。
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下面我們接著來探究，這種方法有無一定的推廣價(jià)值。
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當(dāng)k=6時(shí)，矩形盤更大了是的，我們按中間線把它分割成兩個(gè)的矩形盤。則分割線分割的小紙片張數(shù)只能為1張或3張。因?yàn)槿绻指?張或2張，則在3的矩形盤中剩余未覆蓋的小正形個(gè)數(shù)不是偶數(shù)個(gè)，就不可能恰好被整數(shù)張小紙條覆蓋。
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當(dāng)分割線恰好分割了1張小紙片時(shí)，分割線左右兩邊正好是如圖所示的矩形盤，其中有一個(gè)小正形已被覆蓋（用黑色表示）。有三種情形：
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其中第（1）種情形的覆蓋方式共有4種，第（2）種情形無法完全覆蓋，第（3）種情形的覆蓋方式同第（1）種也有4種。
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故此時(shí)的覆蓋方法種數(shù)為=32種。
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當(dāng)分割線恰好分割了3張小紙片時(shí)，分割線左是如圖所示圖形，
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此時(shí)左邊的覆蓋方法有3種，由對(duì)稱性，右邊的覆蓋方法也有3種，
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故此時(shí)的覆蓋方法種數(shù)為種。
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綜上所述，知當(dāng)k=6時(shí)，覆蓋方法種數(shù)為種。記為。
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當(dāng)k=8時(shí)，矩形盤已經(jīng)變成了。我們?nèi)匀≈虚g線為分割線，則分割線所分割的小紙條張數(shù)為0張或2張。
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當(dāng)分割線分割小紙條張數(shù)為0時(shí)，左、右兩邊各為一個(gè)完整的3的矩形盤，則覆蓋方法種數(shù)為種；
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當(dāng)分割線分割小紙條張數(shù)為2張時(shí)，左邊的圖形可能為（黑色代表已覆蓋）下面3種情形：
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對(duì)于第一種情形，覆蓋方法有4種；第（2）種情形不能完全覆蓋；第（3）種情形覆蓋方法有4種。故分割線分割小紙條張數(shù)為3張時(shí)，完全覆蓋方法種數(shù)為種。
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綜上所述，當(dāng)時(shí)，覆蓋方法種數(shù)為。
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經(jīng)過我們上面艱苦的探索，對(duì)于數(shù)列還是沒能發(fā)現(xiàn)什么有價(jià)值的規(guī)律。但從中我們掌握的分割法探索完全覆蓋問題的方法，為我們進(jìn)一步探索奠定的一定的基礎(chǔ)。對(duì)于的矩形盤的探索，我們不妨就此打住。下面我們來看看對(duì)于的矩形盤，我們會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？
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當(dāng)k=1時(shí)，很明顯，覆蓋方法只有1種。記為。
????當(dāng)時(shí)，覆蓋方法有5種（見前面的矩形盤），記為。
????當(dāng)k=3時(shí)，覆蓋方法有11種（見前面的矩形盤），記為。
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當(dāng)k=4時(shí)，用豎線沿矩形盤中間分割，左右兩邊各為一個(gè)的矩形盤。分割線可能分割的小紙條張數(shù)為0、2或4張。
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當(dāng)小紙條被分割張數(shù)為0時(shí)，左、右兩邊各為一個(gè)完整的的矩形盤，于是完全覆蓋的方法種數(shù)為5=25種。
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當(dāng)小紙條被分割張數(shù)為2時(shí)，左邊矩形盤可能為
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其中（1）、（2）的完全覆蓋方式各有兩種，（3）、（4）的完全覆蓋方式各有1種，（5）（6）不能完全覆蓋。
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則此時(shí)4×4的矩形盤完全覆蓋方法有2×2+2×2+1+1=10種；
當(dāng)小紙條被分割張數(shù)為4時(shí)，左邊的矩形盤為
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它的覆蓋方法只有1種。
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綜上所述，對(duì)于4×4的矩形盤，完全覆蓋方法種數(shù)為。
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當(dāng)k=5時(shí)，我們用一條水平線沿矩形盤的中間來分割，矩形盤被分割成了兩個(gè)2的矩形盤。被分割線分割的小紙條可能為0，2或4張。
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當(dāng)分割線分割的小紙條張數(shù)為0時(shí)，完全覆蓋方法種數(shù)為8×8=64種；
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當(dāng)分割線分割小紙條張數(shù)為2時(shí)，上面的矩形盤可能有如下情形：
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其中（1）（2）兩種情況，完全覆蓋的方法各有3種；
（3）（4）兩種情況，完全覆蓋的方法各有2種；
（5）（6）（7）（8）四種情況，都不能完全覆蓋。
（9）（10）兩種情況，完全覆蓋的方法各有1種。
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于是此種情形下，4×5的矩形盤完全覆蓋的方法有3×3+3×3+2×2+2×2+1+1=28種。
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當(dāng)分割線分割小紙條張數(shù)為4張時(shí)，上面矩形盤的有如下情形：
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其中（1）、（3）、（5）的完全覆蓋方法各有1種；（2）（4）都不能完全覆蓋。
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于是此種情形下，4×5的矩形盤完全覆蓋的方法有1+1+1=3種。
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綜上所述，對(duì)于4×5的矩形盤完全覆蓋的方法有種。
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經(jīng)過艱辛的努力，雖然我們并沒有想象中會(huì)有什么巨大的發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)，但在這艱難的探索中，我們學(xué)會(huì)了研究問題的方法，同時(shí)也磨煉了我們的意志。這是我利用6個(gè)小時(shí)時(shí)間一口氣完成的一次探索，雖然在科學(xué)道路上，這樣的探索也許不值一提，但它畢竟是開始，我想日后我還會(huì)有更多的作品出現(xiàn)。
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作者簡(jiǎn)介：任所懷，山西省原平市第一中學(xué)一級(jí)教師。1996年畢業(yè)于山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，在中學(xué)任教15年，一直從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的F(n)完全覆盖中的计数问题的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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