UA OPTI544 量子光学7 补充:Density Operator
UA OPTI544 量子光學7 補充:Density Operator
- Pure State
- Statistical Mixture of States
- Density Matrix的物理意義
- Mixture State的本質
在物理實踐中,系統的狀態有時并不具有完美的確定性,比如自然光的偏振態可能是任意方向,并且各方向具有同等的可能性。因此,如何對具有不完全信息的系統進行建模還是很值得討論的。而在量子力學中,Density Operator就是用來對具有不完全信息的量子態進行建模的工具。
如果系統處于量子態∣ψ1?|\psi_1 \rangle∣ψ1??的概率為p1p_1p1?,處于量子態∣ψ2?|\psi_2 \rangle∣ψ2??的概率為p2p_2p2?,以此類推且∑npn=1\sum_{n}p_n=1∑n?pn?=1,則稱系統狀態為{∣ψn?}\{|\psi_n \rangle\}{∣ψn??}的statistical mixture,可以表示為∑npn∣ψn?\sum_n p_n |\psi_n \rangle∑n?pn?∣ψn??。需要注意的是這個表示與量子態的線性表示是完全不同的概念,在線性表示∣ψ?=∑ncn∣ψn?|\psi \rangle=\sum_n c_n |\psi_n \rangle∣ψ?=∑n?cn?∣ψn??中,系數{cn}\{c_n\}{cn?}的含義是probability amplitude而非probability。
Pure State
不存在不完全信息的量子態是pure state,考慮由標準正交基{∣un?}\{|u_n \rangle\}{∣un??}線性表示的一個normalized ket,
∣ψ?=∑cn∣un?|\psi \rangle = \sum c_n |u_n \rangle∣ψ?=∑cn?∣un??
定義Density Operator為ρ=∣ψ??ψ∣\rho=|\psi \rangle \langle \psi|ρ=∣ψ??ψ∣,這個算符的本質就是到量子態∣ψ?|\psi \rangle∣ψ?的投影算符,它滿足
- ρ\rhoρ為厄爾米特算符:ρ?=∣ψ??ψ∣=ρ\rho^{\dag}=|\psi \rangle \langle \psi|=\rhoρ?=∣ψ??ψ∣=ρ
- ρ\rhoρ為冪等算符:ρ2=∣ψ??ψ∣ψ??ψ∣=∣ψ??ψ∣=ρ\rho^2=|\psi \rangle \langle \psi|\psi \rangle \langle \psi|=|\psi \rangle \langle \psi|=\rhoρ2=∣ψ??ψ∣ψ??ψ∣=∣ψ??ψ∣=ρ
Density Operator的意義與量子態基本相同,在大部分場合下二者可以互相替換,但是Density Operator更具有一般性,在完全信息與不完全信息下都可以使用。下面我們簡單闡述一下我們熟悉的量子態的相關概念如何用Density Operator表示。
量子態的相關概念
- Normalization: ∑n∣cn∣2=1\sum_n |c_n|^2=1∑n?∣cn?∣2=1
- Matrix element of observable AAA: Anp=?un∣A∣un?A_{np}=\langle u_n|A|u_n \rangleAnp?=?un?∣A∣un??
- Expectation of observable AAA: ?A?=?ψ∣A∣ψ?=∑n,pcn?cpAnp\langle A \rangle = \langle \psi|A|\psi \rangle=\sum_{n,p} c_n^*c_pA_{np}?A?=?ψ∣A∣ψ?=∑n,p?cn??cp?Anp?
- Schroedinger equation: i???t∣ψ?=H∣ψ?i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi \rangle=H|\psi \ranglei??t??∣ψ?=H∣ψ?
用Density Operator表示量子態的相關概念
- Normalization: tr(ρ)=1tr( \rho)=1tr(ρ)=1
- Expectation of observable AAA: ?A?=tr(ρA)\langle A \rangle = tr(\rho A)?A?=tr(ρA)
- Schroedinger equation: i?ddtρ=[H,ρ]i\hbar \fracze8trgl8bvbq{d t}\rho=[H,\rho]i?dtd?ρ=[H,ρ]
第一條很容易驗證,ρ\rhoρ的matrix element為
ρnp=?un∣ρ∣up?=?un∣ψ??ψ∣up?=cn?cp\rho_{np} = \langle u_n |\rho|u_p \rangle = \langle u_n |\psi \rangle \langle \psi|u_p \rangle =c_n^*c_p ρnp?=?un?∣ρ∣up??=?un?∣ψ??ψ∣up??=cn??cp?
所以tr(ρ)=∑nρnn=∑n∣cn∣2=1tr(\rho)=\sum_n \rho_{nn}=\sum_{n}|c_n|^2=1tr(ρ)=∑n?ρnn?=∑n?∣cn?∣2=1,一般稱[ρnp][\rho_{np}][ρnp?]為density matrix;
第二條的驗證也很容易,
?A?=?ψ∣A∣ψ?=∑n,pcn??un∣A∣un?cp=∑n,pcn?cpAnp=tr(ρA)\begin{aligned} \langle A \rangle = \langle \psi| A | \psi \rangle = \sum_{n,p} c_n ^* \langle u_n | A|u_n \rangle c_p=\sum_{n,p} c_n ^*c_p A_{np} =tr(\rho A)\end{aligned}?A?=?ψ∣A∣ψ?=n,p∑?cn???un?∣A∣un??cp?=n,p∑?cn??cp?Anp?=tr(ρA)?
第三條需要稍微推導一下,
ddtρ=(ddt∣ψ?)?ψ∣+∣ψ?(ddt?ψ∣)=(1i?H∣ψ?)?ψ∣+∣ψ?(?1i??ψ∣H)=1i?[H,ρ]\begin{aligned}\fracze8trgl8bvbq{dt} \rho & = \left( \fracze8trgl8bvbq{dt}|\psi \rangle \right)\langle \psi | +|\psi \rangle \left( \fracze8trgl8bvbq{dt}\langle \psi | \right) \\ & = \left( \frac{1}{i\hbar}H|\psi \rangle \right)\langle \psi | +|\psi \rangle \left( -\frac{1}{i\hbar } \langle \psi | H \right) \\ & = \frac{1}{i\hbar}[H,\rho] \end{aligned}dtd?ρ?=(dtd?∣ψ?)?ψ∣+∣ψ?(dtd??ψ∣)=(i?1?H∣ψ?)?ψ∣+∣ψ?(?i?1??ψ∣H)=i?1?[H,ρ]?
Statistical Mixture of States
假設{∣ψk?}\{|\psi_k \rangle\}{∣ψk??}表示一系列pure state,考慮一個statistical mixture
∣ψ?=∑kpk∣ψk?|\psi \rangle = \sum_k p_k |\psi_k \rangle∣ψ?=k∑?pk?∣ψk??
其中0≤pk≤1,∑kpk=10 \le p_k \le 1,\sum_k p_k = 10≤pk?≤1,∑k?pk?=1,其中pure state ∣ψk?|\psi_k \rangle∣ψk??的density operator為ρk=∣ψk??ψk∣\rho_k=|\psi_k \rangle \langle \psi_k |ρk?=∣ψk???ψk?∣,那么statistical mixture的density operator為
ρ=∑kpkρk\rho = \sum_k p_k \rho_kρ=k∑?pk?ρk?
因為ρk\rho_kρk?是厄爾米特的,所以ρ\rhoρ也是厄爾米特算符。但是ρ\rhoρ并不是冪等的,即ρ2≠ρ\rho^2 \ne \rhoρ2?=ρ,據此可以總結出pure state與statistical mixture state的density operator的主要區別:
- Pure state: ρ2=ρ?tr(ρ2)=tr(ρ)=1\rho^2=\rho \Rightarrow tr(\rho^2)=tr(\rho)=1ρ2=ρ?tr(ρ2)=tr(ρ)=1
- Mixture state: ρ2≠ρ?tr(ρ2)≤1\rho^2 \ne \rho \Rightarrow tr(\rho^2) \le 1ρ2?=ρ?tr(ρ2)≤1
下面簡單總結一下mixture state的density operator的性質(都可以根據線性性從pure state的性質得到,比如第一條,tr(ρ)=∑kpktr(ρk)=∑kpk=1tr(\rho)=\sum_k p_ktr(\rho_k)=\sum_k p_k=1tr(ρ)=∑k?pk?tr(ρk?)=∑k?pk?=1):
- Normalization: tr(ρ)=1tr( \rho)=1tr(ρ)=1
- Expectation of observable AAA: ?A?=tr(ρA)\langle A \rangle = tr(\rho A)?A?=tr(ρA)
- Schroedinger equation: i?ddtρ=[H,ρ]i\hbar \fracze8trgl8bvbq{d t}\rho=[H,\rho]i?dtd?ρ=[H,ρ]
Density Matrix的物理意義
對于pure state與mixture state,ρnn=∣cn∣2\rho_{nn}=|c_n|^2ρnn?=∣cn?∣2均成立,也就是說Density matrix的對角元表示概率。
對于mixture state,n≠pn \ne pn?=p時,
ρnp=∑kpk(cn(k))?cp(k)\rho_{np}=\sum_k p_k (c_n^{(k)})^*c_p^{(k)}ρnp?=k∑?pk?(cn(k)?)?cp(k)?
其中(cn(k))?cp(k)(c_n^{(k)})^*c_p^{(k)}(cn(k)?)?cp(k)?代表pure state ∣ψk?|\psi_k \rangle∣ψk??中,基態∣un?|u_n \rangle∣un??與∣up?|u_p \rangle∣up??的干涉強度,所以ρnp\rho_{np}ρnp?代表在mixture state中,基態∣un?|u_n \rangle∣un??與∣up?|u_p \rangle∣up??的平均干涉強度。
Mixture State的本質
我們考慮這樣一個例子:假設我們有兩組數量相等的粒子,其中一組的量子態為∣ψA?|\psi_A \rangle∣ψA??,另一組的量子態為∣ψB?|\psi_B \rangle∣ψB??,現在我們把這兩組粒子混合起來,那么如何描述混合后的這些粒子的量子態呢?
- Pure State Description:這些粒子的量子態要么是∣ψA?|\psi_A \rangle∣ψA??,要么是∣ψB?|\psi_B \rangle∣ψB??,但對任一粒子,在觀察它所處的量子態前我們并不知道它處于什么量子態;
- Mixture State Description:這些粒子處于12∣ψA??ψA∣+12∣ψB??ψB∣\frac{1}{2}|\psi_A \rangle \langle \psi_A |+\frac{1}{2}|\psi_B \rangle \langle \psi_B |21?∣ψA???ψA?∣+21?∣ψB???ψB?∣這個mixture state中;
首先,這兩種描述是完全等價的;其次,只有pure state才是客觀存在的,mixture state只是一種數學工具,用來描述具有不完全信息的量子態;最后,mixture state的這種描述方式在貝葉斯統計中一般被稱為hierarchical model,因此Mixture State Description屬于Quantum Bayesianism。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI544 量子光学7 补充:Density Operator的全部內容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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