矩陣正態(tài)分布基礎(chǔ)1 外形式、外積與微分形式簡介

• • 外形式
  • 外積
  • k-微分形式

因為不是討論微分流形的，所以只是給一些定義方便后續(xù)要用的時候查閱；要系統(tǒng)性學(xué)習(xí)還請參考微分流形的教材。

外形式

定義1.1（1-形式） 稱線性函數(shù)$w:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$為1-形式，即$w({\lambda }_1\alpha +{\lambda }_2\beta )={\lambda }_{1}w(\alpha )+{\lambda }_{2}w(\beta ),?\alpha ,\beta \in {\mathbb{R}}^n,?{\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{R}$

定義1-形式的加法和數(shù)乘為
$$\begin{gathered} (w_1+w_2)(\alpha )=w_1(\alpha )+w_2(\alpha ) \\ (\lambda w)(\alpha )=\lambda w(\alpha ) \end{gathered}$$

在這兩個運算下，${\mathbb{R}}^n$上的所有1-形式組成的集合是一個線性空間，記為$({\mathbb{R}}^n{)}^{?}$，它是${\mathbb{R}}^n$的對偶空間。假設(shè)$w_1,w_2$是兩個1-形式，則它們的外積$w_1\wedge w_2$是一個2-形式，其中兩個1-形式的外積定義為
$$w_1\wedge w_2(\alpha ,\beta )=\left|\begin{array}{cc}{w}_1(\alpha )& w_1(\beta )\\ w_2(\alpha )& w_2(\beta )\end{array}\right|$$

定義1.2（2-形式） 稱雙線性反對稱函數(shù)$w^2:{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$為2-形式，即$?\alpha ,\beta ,\gamma \in {\mathbb{R}}^n,?{\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{R}$，

$w^2({\lambda }_1\alpha +{\lambda }_2\beta ,\gamma )={\lambda }_1{w}^2(\alpha ,\gamma )+{\lambda }_2{w}^2(\beta ,\gamma )$

$w^2(\alpha ,\beta )=?w^2(\beta ,\alpha )$

假設(shè)一個$n$維線性空間的基為$\{x_1,?,x_n\}$，則這個空間中的任意2-形式可以表示為
$$w^2=\sum _{i<j}{a}_{ij}{x}_i\wedge x_j$$假設(shè)$w_1,?,w_k$是$k$個1-形式，則它們的外積$w_1\wedge ?\wedge w_k$是一個k-形式，其中$k$個1-形式的外積定義為
$$w_1\wedge ?\wedge w_k({\alpha }_1,?,{\alpha }_k)=\left|\begin{array}{ccc}{w}_1({\alpha }_1)& ?& w_1({\alpha }_k)\\ ?& ?& ?\\ w_k({\alpha }_1)& ?& w_k({\alpha }_k)\end{array}\right|$$

定義1.3（k-形式） 稱k-線性反對稱函數(shù)$w:\underset{k個}{{\mathbb{R}}^n\times ?\times {\mathbb{R}}^n}\to \mathbb{R}$為k-形式，即

$w({\lambda }_1{\alpha }_1^{\prime }+{\lambda }_2{\alpha }_1^{\prime \prime },{\alpha }_2,?,{\alpha }_k)={\lambda }_{1}w({\alpha }_1^{\prime },{\alpha }_2,?,{\alpha }_k)+{\lambda }_{2}w({\alpha }^{\prime \prime },{\alpha }_2,?,{\alpha }_k)$

$w({\alpha }_{\sigma (1)},?,{\alpha }_{\sigma (k)})=sgn(\sigma )w({\alpha }_1,?,w_k),?\sigma \in P_k$

其中$\sigma$是一個$k$階置換運算，$sgn(\sigma )=1$表示將$\sigma (1),?,\sigma (k)$恢復(fù)為$1,?,k$需要做偶數(shù)次置換操作；$sgn(\sigma )=?1$表示將$\sigma (1),?,\sigma (k)$恢復(fù)為$1,?,k$需要做奇數(shù)次置換操作。

${\mathbb{R}}^n$上所有k-形式組成的集合是一個線性空間，維數(shù)為$C_n^k$。假設(shè)一個$n$維線性空間的基為$\{x_1,?,x_n\}$，稱$x_{i_1}\wedge ?\wedge x_{}{i}_k$為基本k-形式，基本k-形式的數(shù)量為$C_n^k$。

外積

定義1.4（外積） k-形式$w^k$與b-形式$w^b$的外積為$w^k\wedge w^b$是一個$(k+b)$-形式，滿足

反對稱性：$w^k\wedge w^l=(?1{)}^{kl}{w}^l\wedge w^k$

分配律：$({\lambda }_1{w}_1^k+{\lambda }_2{w}_2^k)\wedge w^l={\lambda }_1{w}_1^k\wedge w^l+{\lambda }_2{w}_2^k\wedge w^l$

結(jié)合律：$(w^k\wedge w^l)\wedge w^m=w^k\wedge (w^l\wedge w^m)$

并且
$$\begin{gathered} w^k\wedge w^l({\alpha }_1,?,{\alpha }_k,{\beta }_1,?,{\beta }_l) \\ =\sum _{\sigma ,\tau }(?1{)}^{sgn(\sigma )sgn(\tau )}{w}^k({\alpha }_{\sigma (1)},?,{\alpha }_{\sigma (k)})w^l({\beta }_{\tau (1),?,{\beta }_{\tau (l)}}) \end{gathered}$$

k-微分形式

定義1.5（k-微分形式） 流形$M$上點$x$處的k-微分形式$w^k{|}_x$就是在切空間$T{M}_x$上的k-形式；如果$M={\mathbb{R}}^n$，用$d{x}_1,?,d{x}_n$表示$T{\mathbb{R}}_x^n$上的1-形式基，則$T{\mathbb{R}}_x^n$中的任意k-形式都可以唯一表示為
$$w^k=\sum _{\sigma }{a}_{\sigma (1),?,\sigma (k)}d{x}_{\sigma (1)}\wedge ?\wedge d{x}_{\sigma (k)}$$

其中$a_{\sigma (1),?,\sigma (k)}\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵正态分布基础1 外形式、外积与微分形式简介的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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