UA OPTI512R 傅立葉光學導論25 透鏡成像中光源與像的光強關系

• • 光強關系
  • 光學傳遞函數

前兩講介紹了用物理光學的思路分析了透鏡系統中輸入波形與輸出波形之間的關系，這一講討論輸入波形的光強與輸出波形的光強之間的關系。用$u(x,y)$表示一個波形，則光強與$|u|$成正比，相位為$\arctan \frac{Im[u(x,y)]}{Re[u(x,y)]}$，比如$u(x,y)=A{e}^{j(k_{x}x+k_{y}y)}$，則光強與$A$成正比，相位是$k_{x}x+k_{y}y$。先嚴格定義一下光強(intensity)：
$$I(x,y)=u(x,y)u^{?}(x,y)=|u(x,y){|}^2$$

比如$u(x,y)=A{e}^{j(k_{x}x+k_{y}y)}$的光強為$I(x,y)=A^2$。下文的分析將使用這個定義。

同時，這一講不假設光源發出的光都是相干光，所以光源處的場被稱為spatially incoherent field，含義是它發出的光相位都是完全隨機的。

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光強關系

上上講我們介紹了object field與image field中波形的關系（Field Relation）
$$u_i(x_i,y_i)=\tilde{h}(x_i,y_i)?u_g(x_i,y_i)$$

即image的波形等于PSF與ideal geometric image的卷積。根據這個關系，我們可以推導object field與image field中光強的關系（Intensity Relation）
$$\begin{array}{rl}{I}_i& =|u_i(x_i,y_i){|}^2=u_i(x_i,y_i)u_i^{?}(x_i,y_i)\end{array}$$

其中$|\tilde{h}(x_i,y_i){|}^2$被稱為Incoherent PSF。

光學傳遞函數

下表總結了coherent與incoherent的PSF與傳遞函數（$?$表示卷積），唯一還未回答的問題是：incoherent transfer function的表達式是什么？

Incoherent PSF的Fourier變換被稱為incoherent transfer function或者optical transfer function。用卷積定理，
$$\begin{array}{rl}\mathcal{H}(\xi ,\eta )& =\mathcal{F}[\tilde{h}(x_i,y_i){\tilde{h}}^{?}(x_i,y_i)]\\ & =\mathcal{F}[\tilde{h}(x_i,y_i)]?\mathcal{F}[{\tilde{h}}^{?}(x_i,y_i)]\\ & =H(\xi ,\eta )?H^{?}(?\xi ,?\eta )=r_{HH}(\xi ,\eta )\end{array}$$

也就是說incoherent transfer function是CTF的自相關函數，更準確一點

如果代入CTF的表達式

OTF的性質：

$\mathcal{H}(0,0)=1$

$\mathcal{H}(\xi ,\eta )={\mathcal{H}}^{?}(?\xi ,?\eta )$

$?\xi ,\eta ,\mathcal{H}(\xi ,\eta )\le \mathcal{H}(0,0)=1$

例：矩形pupil

$$\begin{gathered} P(x,y)=rect(x/L_x,y/L_y) \\ H(\xi ,\eta )=rect(\lambda d_i\xi /L_x,\lambda d_i\eta /L_y) \end{gathered}$$

所以horizontal low-pass cut-off frequency為
$${\xi }_c=\frac{L_x}{2\lambda d_i}$$

verticle low-pass cut-off frequency為
$${\eta }_c=\frac{L_y}{2\lambda d_i}$$

PSF為
$$\tilde{h}(x_i,y_i)=\frac{L_x{L}_y}{{\lambda }^2{d}_i^2}sinc(\frac{L_x{x}_i}{\lambda d_i},\frac{L_y{y}_i}{\lambda d_i})$$

OTF滿足

結果為

例：圓形pupil
$$\begin{gathered} P(x,y)=circ(r/W)=\{\begin{array}{l}1,r=\sqrt{x^2+y^2}\le W/2\\ 0,r=\sqrt{x^2+y^2}>W/2\end{array} \\ H(\xi ,\eta )=circ(\frac{\lambda d_i\rho }{W}),\rho =\sqrt{{\xi }^2+{\eta }^2} \end{gathered}$$

所以radial low-pass cut-off frequency為
$${\rho }_c=\frac{W}{2\lambda d_i}$$

PSF為
$$\tilde{h}(x_i,y_i)=\frac{W^2}{{\lambda }^2{d}_i^2}somb(\frac{W{r}_i}{\lambda d_i})$$

其中somb表示Sombrero函數，
$$somb(r)=\frac{2J_1(\pi r)}{\pi r},r=\sqrt{x^2+y^2}$$

$J_1$是1階第一類Bessel函數。OTF為


總結：CTF與OTF的關系圖

總結

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