UA OPTI501 電磁波 LIH介質(zhì)中的平面波1 平面波的性質(zhì)

• • LIH介質(zhì)的含義
  • 平面波及其性質(zhì)
  • 平面波的能量

LIH介質(zhì)的含義

L代表Linear，如果
$$\begin{gathered} \text{P}(\text{r})e^{?iwt}={?}_0{\chi }_e(w)\text{E}(\text{r})e^{?iwt} \\ \text{M}(\text{r})e^{?iwt}={\mu }_0{\chi }_m(w)\text{H}(\text{r})e^{?iwt} \end{gathered}$$

就稱介質(zhì)為線性介質(zhì)；第一個方程就是Lorentz模型的結(jié)論，第二個方程是仿照第一個寫出來的，表示magnetization與外部磁場成正比的方程。${?}_0$是真空中的介電常數(shù)（permitivity），${\mu }_0$是真空中的磁化率（permeability），${\chi }_e$是electric susceptibility，${\chi }_m$是magnetic susceptibility；

I代表isotropic，即各向同性，它的含義是介質(zhì)在各個方向關(guān)于電極化或者磁化有相同的性質(zhì)，也就是在電極化與磁化的公式中，假設(shè)${\chi }_e$是對角矩陣，且對角元相等；${\chi }_m$也是對角元相等的對角矩陣，簡單來說就是把${\chi }_e$與${\chi }_m$當成1維的數(shù)值而不是2階張量即可；

H代表homogeneous，即同質(zhì)性，它的含義是介質(zhì)所表現(xiàn)的關(guān)于電極化或者磁化的性質(zhì)與電磁場在介質(zhì)中的位置無關(guān)，也就是說在介質(zhì)的區(qū)域內(nèi)，${\chi }_e$與${\chi }_m$是與位移無關(guān)的值。

在LIH介質(zhì)中，
$$\text{D}={?}_0\text{E}+\text{P}={?}_0(1+{\chi }_e(w))\text{E}$$

記${?}_r=1+{\chi }_e(w)$，它是relative permitivity；類似地，
$$\text{B}={\mu }_0\text{H}+\text{M}={\mu }_0(1+{\chi }_m)\text{H}$$

記${\mu }_r=1+{\chi }_m(w)$，它是relative permeability。

平面波及其性質(zhì)

平面波的定義
稱$\text{E},\text{H}$具有以下形式的電磁波為平面波：
$$\begin{gathered} \text{E}(\text{r},t)={\text{E}}_0{e}^{i(\text{k}?\text{r}?wt)} \\ \text{H}(\text{r},t)={\text{H}}_0{e}^{i(\text{k}?\text{r}?wt)} \end{gathered}$$

之所以稱這種形式的電磁波為平面波是因為它在4-D時空中的波前為$\{(\text{r},t):\text{k}?\text{r}?wt=const.\}$，也就是波前是一個平面；其中$\text{k}$是波向量(wave vector)，它的大小是波數(shù)（$2\pi /\lambda$, $\lambda$是波長），方向是電磁波的傳播方向；$w$是電磁波的角頻率（$w=2\pi /T$，$T$是電磁波的周期），在平面波中假設(shè)它是實數(shù)；電場、磁場與波向量都是復(fù)向量，用上標‘表示實部，上標’‘表示虛部，則
$$\begin{gathered} \text{k}={\text{k}}^{\prime }+i{\text{k}}^{\prime \prime } \\ {\text{E}}_0={\text{E}}_0^{\prime }+i{\text{E}}_0^{\prime \prime } \\ {\text{H}}_0={\text{H}}^{\prime }+i{\text{H}}_0^{\prime \prime } \end{gathered}$$

物理量的物理意義由實部體現(xiàn)，虛部的作用是指示物理量的polarization state，所以
$$\begin{array}{rl}\text{E}(\text{r},t)& =Re[({\text{E}}_0^{\prime }+i{\text{E}}_0^{\prime \prime })e^{i(({\text{k}}^{\prime }+i{\text{k}}^{\prime \prime })?\text{r}?wt)}]\\ & =e^{?{\text{k}}^{\prime \prime }?\text{r}}[{\text{E}}_0^{\prime }\cos (wt?{\text{k}}^{\prime }?\text{r})+{\text{E}}_0^{\prime \prime }\sin (wt?{\text{k}}^{\prime }?\text{r})]\end{array}$$

第一項代表電場在介質(zhì)中沿${\text{k}}^{\prime \prime }$方向指數(shù)衰減，衰減強度為$|{\text{k}}^{\prime \prime }|$，第二項代表電場在介質(zhì)中的振蕩，可以發(fā)現(xiàn)相位傳播方向為${\text{k}}^{\prime }$，相速度為$V_{?}=w/|{\text{k}}^{\prime }|$。

用Maxwell方程推導(dǎo)平面波的性質(zhì)
我們比較感興趣的問題是平面波在LIH介質(zhì)中的傳播規(guī)律，所以假設(shè)在LIH介質(zhì)中不存在自由電荷與自由電荷密度，即${\rho }_{free}=0,{\text{J}}_{free}=0$，下面用Maxwell方程推導(dǎo)平面波在LIH介質(zhì)中傳播的規(guī)律。

Maxwell 1：對于平面波，$\text{D}={\text{D}}_0{e}^{i(\text{k}?\text{r}?wt)}$，其中${\text{D}}_0={?}_0{?}_r{\text{E}}_0$
$$??\text{D}={\rho }_{free}=0?i\text{k}?{\text{D}}_0=0?\text{k}?{\text{E}}_0=0$$

也就是說$\text{k}$與${\text{E}}_0$是垂直的；代入它們的復(fù)數(shù)形式，
$$\begin{gathered} ({\text{k}}^{\prime }+i{\text{k}}^{\prime \prime })?({\text{E}}_0^{\prime }+i{\text{E}}_0^{\prime \prime })=0 \\ ({\text{k}}^{\prime }?{\text{E}}_0^{\prime }?{\text{k}}^{\prime \prime }?{\text{E}}_0^{\prime \prime })+i({\text{k}}^{\prime }?{\text{E}}_0^{\prime \prime }+{\text{k}}^{\prime \prime }?{\text{E}}_0^{\prime })=0 \\ ?\{\begin{array}{l}{\text{k}}^{\prime }?{\text{E}}_0^{\prime }?{\text{k}}^{\prime \prime }?{\text{E}}_0^{\prime \prime }=0\\ {\text{k}}^{\prime }?{\text{E}}_0^{\prime \prime }+{\text{k}}^{\prime \prime }?{\text{E}}_0^{\prime }=0\end{array} \end{gathered}$$

Maxwell 4：對于平面波，$\text{B}={\text{B}}_0{e}^{i(\text{k}?\text{r}?wt)}$，其中${\text{B}}_0={\mu }_0{\mu }_r{\text{H}}_0$
$$??\text{B}=0?i\text{k}?{\text{B}}_0=0?\text{k}?{\text{H}}_0=0$$

綜合這兩個結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)$\text{k}$與${\text{E}}_0$與${\text{H}}_0$都是正交的。

Maxwell 3：
$$\begin{gathered} ?\times \text{E}=?\frac{?\text{B}}{?t} \\ i\text{k}\times {\text{E}}_0{e}^{i(\text{k}?\text{r}?wt)}=iw{\mu }_0{\mu }_r{\text{H}}_0{e}^{i(\text{k}?\text{r}?wt)} \\ \text{k}\times {\text{E}}_0=w{\mu }_0{\mu }_r{\text{H}}_0 \end{gathered}$$

結(jié)合上面三個結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)$(\text{k},{\text{E}}_0,{\text{H}}_0)$互相正交，并且他們之間的方向可以用右手螺旋定則確定。

Maxwell 4：
$$\begin{gathered} ?\times \text{H}={\text{J}}_{free}+\frac{?\text{D}}{?t} \\ i\text{k}\times {\text{H}}_0=?iw{?}_0{?}_r{\text{E}}_0 \\ \text{k}\times {\text{H}}_0=?w{?}_0{?}_r{\text{E}}_0 \end{gathered}$$

下面計算
$$\begin{gathered} \text{k}\times (\text{k}\times {\text{E}}_0)=w{\mu }_0{\mu }_r\text{k}\times {\text{H}}_0 \\ \text{k}\times (\text{k}\times {\text{E}}_0)=(\text{k}?{\text{E}}_0)\text{k}?k^2{\text{E}}_0=?k^2{\text{E}}_0 \\ w{\mu }_0{\mu }_r\text{k}\times {\text{H}}_0=w{\mu }_0{\mu }_r(?w{?}_0{?}_r{\text{E}}_0)=?w^2{?}_0{?}_r{\mu }_0{\mu }_r{\text{E}}_0 \\ ?k^2{\text{E}}_0=?w^2{?}_0{?}_r{\mu }_0{\mu }_r{\text{E}}_0?k^2=w^2{?}_0{?}_r{\mu }_0{\mu }_r=\frac{w^2}{c^2}{?}_r{\mu }_r \end{gathered}$$

最后這個等式被稱為dispersion relation，其中
$$k^2=({\text{k}}^{\prime }+i{\text{k}}^{\prime \prime })?({\text{k}}^{\prime }+i{\text{k}}^{\prime \prime })=(k^{\prime 2}?k^{\prime \prime 2})+i(2{\text{k}}^{\prime }?{\text{k}}^{\prime \prime })$$

所以
$$\{\begin{array}{l}{k}^{\prime 2}?k^{\prime \prime 2}=\frac{w^2}{c^2}Re[{?}_r{\mu }_r]\\ {\text{k}}^{\prime }?{\text{k}}^{\prime \prime }=\frac{w^2}{2c^2}Im[{?}_r{\mu }_r]\end{array}$$

• 如果$Im[{?}_r]=Im[{\mu }_r]=0$，則${\text{k}}^{\prime }\perp {\text{k}}^{\prime \prime }$，此時若$k^{\prime \prime }=0$，則平面波在介質(zhì)中強度不會衰減并且$k^{\prime 2}=\frac{w^2}{c^2}Re[{?}_r{\mu }_r]>0$，稱這樣的平面波為homogeneous plane wave，它只會在滿足${\mu }_r,{?}_r>0$的介質(zhì)中出現(xiàn)；如果$k^{\prime \prime }=0$，稱這樣的平面波為evanescent plane wave，這是inhomohegeous plave wave的一種特例（滿足${\text{k}}^{\prime }\perp {\text{k}}^{\prime \prime }$的inhomohegeous plave wave）
• 如果$Im[{?}_r]=Im[{\mu }_r]=0$不成立，稱這樣的平面波為inhomohegeous plave wave

平面波的能量

平面波的Poynting矢量為

上式中，最后一個等號在一個周期內(nèi)的積分為0，所以Poynting矢量的的time-average為
$$?\text{S}(\text{r},t)?=\frac{1}{2}Re[\text{E}(\text{r})\times {\text{H}}^{?}(\text{r})]$$

化簡以后的表達式為

這是LIH介質(zhì)中平面波Poynting矢量的一般公式，對于homogeneous plane wave，

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI501 电磁波 LIH介质中的平面波1 平面波的性质的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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