UA OPTI512R 傅立葉光學(xué)導(dǎo)論15 2-D Fourier變換與Hankel變換

• • 2-D Fourier變換的定義
  • 2-D Fourier變換的性質(zhì)
  • 極坐標(biāo)系中的2-D Fourier變換
  • Hankel變換

2-D Fourier變換的定義

定義 2-D Fourier變換
$$F(\xi ,\eta )=\mathcal{F}[f(x,y)]={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x,y)e^{?j2\pi (\xi x+\eta y)}dxdy$$

2-D Fourier逆變換
$$f(x,y)={\mathcal{F}}^{?1}[F(\xi ,\eta )]={\int }_{?\infty }^{+\infty }F(\xi ,\eta )e^{j2\pi (\xi x+\eta y)}d\xi d\eta$$

這個定義要推廣到$N$維也是很容易的，
$$\begin{gathered} F(\xi )=\mathcal{F}[f(x)]={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x)e^{?j2\pi \xi ?x}dx \\ f(x)={\mathcal{F}}^{?1}[F(\xi )]={\int }_{?\infty }^{+\infty }F(\xi )e^{j2\pi \xi ?x}d\xi \end{gathered}$$

例1 可分函數(shù)(separable function)：
$$f(x,y)=g(x)h(y)$$

它的Fourier變換為
$$\begin{array}{rl}F(\xi ,\eta )& ={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x,y)e^{?j2\pi (\xi x+\eta y)}dxdy\\ & ={\int }_{?\infty }^{+\infty }g(x)h(y)e^{?j2\pi (\xi x+\eta y)}dxdy\\ & =\left({\int }_{?\infty }^{+\infty }g(x)e^{?j2\pi \xi x}dx\right)\left({\int }_{?\infty }^{+\infty }h(y)e^{?j2\pi \eta y}dy\right)\\ & =\mathcal{F}[g(x)]\mathcal{F}[h(y)]\end{array}$$

對于一般函數(shù)，
$$\begin{array}{rl}F(\xi ,\eta )& ={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x,y)e^{?j2\pi (\xi x+\eta y)}dxdy\\ & ={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x,y)e^{?j2\pi (\xi x+\eta y)}dxdy\\ & ={\int }_{?\infty }^{+\infty }\left({\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x,y)e^{?j2\pi \xi x}dx\right)e^{?j2\pi \eta y}dy\\ & ={\mathcal{F}}_y[{\mathcal{F}}_x[f(x,y)]]\end{array}$$

也就是說多元函數(shù)的Fourier變換是可以序貫地對每個變量做Fourier變換的。

2-D Fourier變換的性質(zhì)

性質(zhì)原函數(shù)Fourier變換

Scaling	$f(ax,by)$	$\frac{1}{ab}F(\xi /a,\eta /b),ab>0;?\frac{1}{ab}F(\xi /a,\eta /b),ab<0$
Shifting	$f(x?x_0,y?y_0)$	$e^{?j2\pi (\xi x_0+\eta y_0)}F(\xi ,\eta )$
卷積定理	$f(x,y)?h(x,y)$	$F(\xi ,\eta )H(\xi ,\eta )$
卷積定理(頻域)	$F(\xi ,\eta )?H(\xi ,\eta )$	$f(x,y)h(x,y)$

其中2-D卷積的定義是
$$f(x,y)?h(x,y)={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(\alpha ,\beta )h(x?\alpha ,y?\beta )d\alpha d\beta$$

極坐標(biāo)系中的2-D Fourier變換

從定義出發(fā)，用二重積分的換元公式得到極坐標(biāo)系中的2-D Fourier變換，
$$F(\xi ,\eta )=\mathcal{F}[f(x,y)]={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x,y)e^{?j2\pi (\xi x+\eta y)}dxdy$$

將$(x,y)$變換到極坐標(biāo)$(r,\theta )$中，將$(\xi ,\eta )$變換到極坐標(biāo)$(\rho ,?)$中，即
$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array},\{\begin{array}{l}\xi =\rho \cos ?\\ \eta =\rho \sin ?\end{array}$$

所以
$$x\xi +y\eta =r\rho (\cos \theta \cos ?+\sin \theta \sin ?)=r\rho \cos (\theta ??)$$

Jacobian為
$$\left|\begin{array}{cc}\frac{?x}{?r}& \frac{?x}{?\theta }\\ \frac{?y}{?r}& \frac{?y}{?\theta }\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & r\sin \theta \\ \sin \theta & ?r\cos \theta \end{array}\right|=?r$$

因此，對$f(x,y)=f(x(r,\theta ),y(r,\theta ))$根據(jù)積分換元公式
$$\begin{array}{rl}F(\rho ,?)& ={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x,y)e^{?j2\pi (\xi x+\eta y)}dxdy\\ & ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{+\infty }rf(r,\theta )e^{?j2\pi r\rho \cos (\theta ??)}drd\theta \end{array}$$

這就是極坐標(biāo)中的函數(shù)$f(r,\theta )$的Fourier變換公式。

Hankel變換

對于任意極坐標(biāo)系中的函數(shù)$f(r,\theta )$，它可以展開為
$$f(r,\theta )=\sum _{k=?\infty }^{+\infty }{f}_k(r)e^{jk\theta }$$

它的Fourier變換為
$$\begin{array}{rl}F(\rho ,?)& ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{+\infty }rf(r,\theta )e^{?j2\pi r\rho \cos (\theta ??)}drd\theta \\ & =2\pi \sum _{k=?\infty }^{+\infty }(?j{)}^k{e}^{jk?}{\mathcal{H}}_k[f_k(r)]\end{array}$$

假設(shè)$f(r,\theta )$是極坐標(biāo)系中的可分函數(shù)，即
$$f(r,\theta )=f_R(r)f_{\Theta }(\theta )$$

則它的展開式中$f_k=f_R$，Fourier變換為
$$\begin{array}{rl}F(\rho ,?)& =\sum _{k=?\infty }^{+\infty }{c}_k(?j{)}^k{e}^{jk?}{\mathcal{H}}_k[f_R(r)]\end{array}$$

這里$c_k$表示Fourier級數(shù)展開的系數(shù)，
$$c_k=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{f}_{\Theta }(\theta )e^{?jk\theta }d\theta$$

${\mathcal{H}}_k$表示$k$階Hankel變換，
$${\mathcal{H}}_k[f_R(r)]=2\pi {\int }_0^{+\infty }r{f}_R(r)J_k(2\pi r\rho )dr$$

其中$J_k$表示$k$階第一類Bessel函數(shù)。

例 Radially Symmetric Function
假設(shè)極坐標(biāo)系中的可分函數(shù)滿足$f_{\Theta }=1$，就稱其為Radially Symmetric Function，它的Fourier變換為
$$\begin{array}{rl}F(\rho ,?)& ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{+\infty }rf(r,\theta )e^{?j2\pi r\rho \cos (\theta ??)}drd\theta \\ & ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{+\infty }r{f}_R(r)e^{?j2\pi r\rho \cos (\theta ??)}drd\theta \end{array}$$

因為
$$J_0(2\pi r\rho )=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{e}^{?j2\pi r\rho \cos (\theta ??)}d\theta$$

用Fubini定理，
$$F(\rho ,?)=F(\rho )=2\pi {\int }_0^{+\infty }r{f}_R(r)J_0(2\pi r\rho )dr$$

這個變換為0階Hankel變換，也被稱為Fourier-Bessel變換，它的逆變換為
$$f_R(r)=2\pi {\int }_0^{+\infty }\rho F(\rho )J_0(2\pi r\rho )d\rho$$

總結(jié)

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