UA OPTI570 量子力學(xué)25 2-level System

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2-level System與Rabi oscillation

Spin-1/2的方法可以用于任意二維態(tài)空間（稱之為2-level system），考慮${\mathcal{E}}_2$，假設(shè)它的基為$\{|u_1?,|u_2?\}$，在這組基下，任意量子態(tài)可以表示為一個(gè)有兩個(gè)元素的列向量，任意算符可以表示為$2\times 2$的矩陣，于是在這種與Spin-1/2類似的數(shù)學(xué)模型下，Spin-1/2的相關(guān)結(jié)果可以直接移植到2-level system中。

$?|\psi ?\in {\mathcal{E}}_2$，$|\psi ?=a|u_1?+b|u_2?,?a,b\in \mathbb{C}$，并且$?\theta ,?$,
$$\begin{array}{r}a=\cos \frac{\theta }{2}{e}^{?\frac{i?}{2}},b=\sin \frac{\theta }{2}{e}^{\frac{i?}{2}}\end{array}$$

注意$\theta ,?$是任意參數(shù)坐標(biāo)，并不一定代表真實(shí)物理空間中的角度。Pauli Spin Matrix的期望為
$$\begin{gathered} ?{\sigma }_x?=\sin \theta \cos ? \\ ?{\sigma }_y?=\sin \theta \sin ? \\ ?{\sigma }_z?=\cos \theta \end{gathered}$$

于是Bloch vector為
$$?\sigma ?=?\begin{array}{c}\sin \theta \cos ?\\ \sin \theta \sin ?\\ \cos \theta \end{array}?$$

例1 假設(shè)$H=E_1|u_1??u_1|+E_2|u_2??u_2|$，它的矩陣表示為$diag(E_1,E_2)$，假設(shè)$|\psi (0)?=|u_1?$，
$$|\psi (t)?=e^{?iHt/?}|\psi (0)?=e^{?i{E}_{1}t/?}|u_1?$$

這是一個(gè)很有趣的結(jié)果，在有像這道題定義的哈密頓量的系統(tǒng)中，如果初始量子態(tài)是某個(gè)本征態(tài)，那么量子態(tài)并不會(huì)隨時(shí)間演化到另一個(gè)本征態(tài)，而是會(huì)一直停留在這個(gè)本征子空間中，也就是說(shuō)$P(E_2)=0$。

例2 假設(shè)$H=E_1|u_1??u_1|+E_2|u_2??u_2|+?\hat{1}$，則延用例1的設(shè)定，
$$|\psi (t)?=e^{?i(E_1+?)t/?}|u_1?$$

也就是同時(shí)同量改變兩個(gè)本征態(tài)的本征值不會(huì)影響例1的結(jié)論。

例3 假設(shè)$H=E_1|u_1??u_1|+E_2|u_2??u_2|+W$，其中算符$W=W_{12}|u_1??u_2|+W_{21}|u_2??u_1|$，則哈密頓量的矩陣表示為
$$\left[\begin{array}{cc}{E}_1& W_{12}\\ W_{21}& E_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{E}_1& W_{21}^{?}\\ W_{21}& E_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{E_1+E_2}{2}+\frac{E_1?E_2}{2}& W_{12}\\ W_{21}& \frac{E_1+E_2}{2}?\frac{E_1?E_2}{2}\end{array}\right]$$

記$E_m=\frac{E_1+E_2}{2},\delta =\frac{E_1?E_2}{2}$, 則
$$\begin{gathered} H=E_m\hat{1}+\left[\begin{array}{cc}\delta & W_{21}^{?}\\ W_{21}& ?\delta \end{array}\right]=E_m\hat{1}+\sqrt{{\delta }^2+|W_{21}{|}^2}{\sigma }_u \\ {\sigma }_u=\frac{1}{\sqrt{{\delta }^2+|W_{21}{|}^2}}?\begin{array}{c}\frac{W_{12}+W_{21}}{2}\\ i\frac{W_{12}?W_{21}}{2}\\ \delta \end{array}? \end{gathered}$$

$H$的本征值為
$$\begin{gathered} E_{+}=E_m+\sqrt{{\delta }^2+|W_{21}{|}^2} \\ {E}_1=E_m?\sqrt{{\delta }^2+|W_{21}{|}^2} \end{gathered}$$

本征態(tài)為
$$\begin{gathered} |{\psi }_{+}?=\cos \frac{\theta }{2}{e}^{?\frac{i?}{2}}|u_1?+\sin \frac{\theta }{2}{e}^{\frac{i?}{2}}|u_2? \\ |{\psi }_{?}?=?\sin \frac{\theta }{2}{e}^{?\frac{i?}{2}}|u_1?+\cos \frac{\theta }{2}{e}^{\frac{i?}{2}}|u_2? \\ \theta =\arctan \frac{|W_{21}|}{\delta },?=Arg(W_{12}) \end{gathered}$$

下面討論任意量子態(tài)的演化規(guī)律：假設(shè)初始態(tài)為
$$|\psi (0)?=a_1(0)|u_1?+a_2(0)|u_2?$$

目標(biāo)是得到
$$|\psi (t)?=a_1(t)|u_1?+a_2(t)|u_2?$$

這里的系數(shù)含義是狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率幅，從0時(shí)刻到$t$時(shí)刻，由量子態(tài)$|u_1?$轉(zhuǎn)移到$|u_2?$與量子態(tài)$|u_2?$轉(zhuǎn)移到$|u_1?$的概率為
$$P_{1\to 2}(t)=|a_2(t){|}^2,P_{2\to 1}(t)=|a_1(t){|}^2$$

要做這個(gè)計(jì)算有下面兩種方法：

將$|\psi (0)?$變換到基$\{|{\psi }_{+}?,|{\psi }_{?}?\}$的表象下，然后使用Time-evolving operator $U(t)$

將Time-evolving operator $U(t)$變換到基$\{|u_1?,|u_2?\}$的表象下，然后應(yīng)用$|\psi (t)?=U(t)|\psi (0)?$

結(jié)果為
$$\{\begin{array}{l}{a}_1(t)=a_1(0)\left({\cos }^2\frac{\theta }{2}{e}^{?i\Omega t/2}+{\sin }^2\frac{\theta }{2}{e}^{i\Omega t/2}\right)?i{a}_2(0)\sin \theta e^{?i?}\sin \frac{\Omega t}{2}\\ a_2(t)=a_2(0)\left({\sin }^2\frac{\theta }{2}{e}^{?i\Omega t/2}+{\cos }^2\frac{\theta }{2}{e}^{i\Omega t/2}\right)?i{a}_1(0)\sin \theta e^{i?}\sin \frac{\Omega t}{2}\end{array}$$

其中
$$\Omega =\frac{E_{+}?E_{?}}{?}=\frac{2}{?}\sqrt{{\delta }^2+|W_{21}{|}^2}$$

考慮一個(gè)特例，比如$a_1(0)=1,a_2(0)=0$，則
$$P_{1\to 2}(t)={\sin }^2\theta {\sin }^2\frac{\Omega t}{2},P_{1\to 1}=1?P_{1\to 2}(t)$$

定義
$$\begin{gathered} \Delta =\frac{E_1?E_2}{?}=\frac{2\delta }{?} \\ {\Omega }_0=\frac{2}{?}{W}_{21}=|{\Omega }_0|e^{i?} \end{gathered}$$

則哈密頓量為
$$\begin{gathered} H_{\{u\}}=\left[\begin{array}{cc}{E}_m& \\ & E_m\end{array}\right]+\frac{?}{2}\left[\begin{array}{cc}\Delta & {\Omega }_0^{?}\\ {\Omega }_0& ?\Delta \end{array}\right] \\ {E}_{\pm }=E_m\pm \frac{?}{2}\Omega ,\Omega =\sqrt{{\Delta }^2+|{\Omega }_0{|}^2} \end{gathered}$$

狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為
$$P_{1\to 2}(t)=\frac{|{\Omega }_0{|}^2}{{\Omega }^2}{\sin }^2\frac{\Omega t}{2}$$

這個(gè)公式被稱為Rabi公式，在2-level system中處理狀態(tài)轉(zhuǎn)移時(shí)這個(gè)公式具有通用性，其中${\Omega }_0$被稱為Resonant Rabi frequency；$\Omega$被稱為Rabi frequency或者generalized Rabi frequency；$\Delta$被稱為detuning；這個(gè)公式是Rabi Oscillation模型的一部分；$\frac{|{\Omega }_0{|}^2}{{\Omega }^2}$被稱為Rabi oscillations的振幅；在$\Delta =0,\Omega ={\Omega }_0$時(shí)，稱$P_{1\to 2}(t)$的半個(gè)周期，$t=\frac{\pi }{|{\Omega }_0|}$為$\pi$-pulse，整個(gè)周期為$2\pi$-pulse。

Bloch vector為
$$?\sigma ?=(?{\sigma }_x?,?{\sigma }_y?,?{\sigma }_z?)$$

在量子態(tài)$|\psi ?=a_1|u_1?+a_2|u_2?$中，
$$?{\sigma }_z?=\left[\begin{array}{cc}{a}_1^{?}& a_2^{?}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& ?1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right]=|a_1{|}^2?|a_2{|}^2$$

類似地，
$$?{\sigma }_x?=a_1^{?}{a}_2+a_1{a}_2^{?},?{\sigma }_y?=?i{a}_1^{?}{a}_2+i{a}_1{a}_2^{?}$$

總結(jié)

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