UA OPTI512R 傅立叶光学导论14 Wiener-Khinchine定理,Rayleigh定理与矩定理
UA OPTI512R 傅立葉光學(xué)導(dǎo)論14 Wiener-Khinchine定理,Rayleigh定理與矩定理
- Wiener-Khinchine定理
- Rayleigh定理
- 矩定理
Wiener-Khinchine定理
定義 考慮f(x)f(x)f(x)與g(x)g(x)g(x)兩個波形,用下面的相關(guān)性函數(shù)衡量它們之間的相似性,
rfg=∫?∞+∞f(α)g?(α?x)dαr_{fg}=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\alpha)g^*(\alpha-x)d\alpharfg?=∫?∞+∞?f(α)g?(α?x)dα
如果f=gf=gf=g,稱rffr_{ff}rff?為自相關(guān)函數(shù)。
評注 需要注意的是這個定義與卷積是有區(qū)別的,卷積的定義是
f?g=∫?∞+∞f(α)g?(x?α)dα=∫?∞+∞f(x?α)g?(α)dαf*g=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\alpha)g^*(x-\alpha)d\alpha=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x-\alpha)g^*(\alpha)d\alphaf?g=∫?∞+∞?f(α)g?(x?α)dα=∫?∞+∞?f(x?α)g?(α)dα
做簡單的變量代換(比如β=α?x\beta=\alpha-xβ=α?x)就可以驗證第二個等號成立。根據(jù)二者不同的定義,卷積滿足對稱性f?g=g?ff*g=g*ff?g=g?f,而相關(guān)性函數(shù)rfgr_{fg}rfg?滿足共軛對稱性,
rfg(x)=rgf?(?x)r_{fg}(x)=r_{gf}^*(-x)rfg?(x)=rgf??(?x)
代入定義即可驗證:
rgf?(?x)=∫?∞+∞f?(α)g(α+x)dα=∫?∞+∞f?(β?x)g(β)dβ=rfg(x)r_{gf}^*(-x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f^*(\alpha)g(\alpha+x)d\alpha=\int_{-\infty}^{+\infty}f^*(\beta-x)g(\beta)d\beta=r_{fg}(x)rgf??(?x)=∫?∞+∞?f?(α)g(α+x)dα=∫?∞+∞?f?(β?x)g(β)dβ=rfg?(x)
由此也可以發(fā)現(xiàn)相關(guān)性函數(shù)可以用卷積表示,
rfg=f?(?x)?g(x)r_{fg}=f^*(-x)*g(x)rfg?=f?(?x)?g(x)
對于自相關(guān)函數(shù),∣rff(x)∣≤∣rff(0)∣|r_{ff}(x)| \leq |r_{ff}(0)|∣rff?(x)∣≤∣rff?(0)∣,從直觀上解釋,xxx的作用是讓我們要比較的兩列f(x)f(x)f(x)波形中的其中一列做平移后再和另一列比較相似性,這樣得出的相似性肯定是比完全一樣的兩列f(x)f(x)f(x)波形更弱的。
Wiener-Khinchine定理 波形f(x)f(x)f(x)的自相關(guān)函數(shù)rff(x)r_{ff}(x)rff?(x)的Fourier變換等于波形f(x)f(x)f(x)的功率譜密度(power spectrum density, PSD)。用公式表達就是:記$F(\xi)=\mathcal{F}[f(x) ] $,則
F[rff(x)]=∣F(ξ)∣2\mathcal{F}[r_{ff}(x)]=|F(\xi) |^2F[rff?(x)]=∣F(ξ)∣2
證明
方法一:卷積定理,
F[rff(x)]=F[f?(?x)?f(x)]=F?(?(?ξ))F(ξ)=∣F(ξ)∣2\mathcal{F}[ r_{ff} (x ) ] = \mathcal{F}[ f^*(-x)*f(x) ] =F^*( -( -\xi) ) F( \xi )=|F(\xi) |^2F[rff?(x)]=F[f?(?x)?f(x)]=F?(?(?ξ))F(ξ)=∣F(ξ)∣2
方法二:直接計算,
F[rff(x)]=∫?∞+∞(∫?∞+∞f(α)f?(α?x)dα)e?j2πξxdx=∫?∞+∞f(α)(∫?∞+∞f?(α?x)e?j2πξxdx)dα=∫?∞+∞f(α)e?j2πξαF?(ξ)dα=F(ξ)F?(ξ)=∣F(ξ)∣2\begin{aligned} \mathcal{F}[ r_{ff} ( x ) ] & =\int_{-\infty}^{+\infty} \left( \int_{-\infty}^{+\infty} f (\alpha ) f^* ( \alpha - x ) d \alpha \right) e^{-j2 \pi \xi x} dx \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} f (\alpha ) \left( \int_{-\infty}^{+\infty} f^* ( \alpha - x ) e^{-j2 \pi \xi x} dx \right) d \alpha \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} f (\alpha ) e^{-j 2 \pi \xi \alpha} F^*(\xi) d \alpha = F( \xi ) F^*(\xi) = |F(\xi)|^2 \end{aligned}F[rff?(x)]?=∫?∞+∞?(∫?∞+∞?f(α)f?(α?x)dα)e?j2πξxdx=∫?∞+∞?f(α)(∫?∞+∞?f?(α?x)e?j2πξxdx)dα=∫?∞+∞?f(α)e?j2πξαF?(ξ)dα=F(ξ)F?(ξ)=∣F(ξ)∣2?
應(yīng)用 FTIR spectroscopy
Wiener-Khinchine定理的一個重要應(yīng)用是FTIR spectroscopy(Fourier transform infrared spectroscopy),它可以用來得到物質(zhì)的吸收光譜,簡易示意圖如上,它由五部分組成,正下方是一個紅外發(fā)射器,正上方是一個固定的反射鏡,正右方是一個可以平移的反射鏡,正左方放置待分析的樣本以及紅外傳感器,正中是一個分光鏡。假設(shè)發(fā)射器產(chǎn)生的電場為E(x0,t)E(x_0,t)E(x0?,t),在Δ\DeltaΔ后一部分光經(jīng)過分光鏡反射穿過樣本到達傳感器,再過τ\tauτ后,透過分光鏡的光被反射鏡反射后再次通過分光鏡,部分被反射最終到達傳感器,于是兩次到達傳感器的光自相關(guān)函數(shù)為
rEE(τ)=∫?∞+∞E(x0,t+Δ)E?(x0,t+Δ+τ)dtr_{EE}(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty} E(x_0,t+\Delta)E^*(x_0,t+\Delta+\tau)dtrEE?(τ)=∫?∞+∞?E(x0?,t+Δ)E?(x0?,t+Δ+τ)dt
在τ\tauτ時間內(nèi),傳感器接收到的光強為
I(τ)=∣E(x0,t+Δ)+E?(x0,t+Δ+τ)∣2=∣E(x0,t+Δ)∣2+∣E?(x0,t+Δ+τ)∣2+2Re[E(x0,t+Δ)E?(x0,t+Δ+τ)]\begin{aligned}I(\tau)& =|E(x_0,t+\Delta)+E^*(x_0,t+\Delta+\tau)|^2 \\ & = |E(x_0,t+\Delta)|^2 + |E^*(x_0,t+\Delta+\tau)|^2 \\ & +2Re[E(x_0,t+\Delta)E^*(x_0,t+\Delta+\tau)]\end{aligned}I(τ)?=∣E(x0?,t+Δ)+E?(x0?,t+Δ+τ)∣2=∣E(x0?,t+Δ)∣2+∣E?(x0?,t+Δ+τ)∣2+2Re[E(x0?,t+Δ)E?(x0?,t+Δ+τ)]?
τ\tauτ足夠小時,前兩項為常數(shù),第三項與rEE(τ)r_{EE}(\tau)rEE?(τ)成正比,于是基于光強信息,將其與發(fā)射器的頻譜對比我們就可以得到樣本的吸收譜。
Rayleigh定理
Rayleigh定理 在時域與頻域中計算某列波的能量,得到的結(jié)果相同。用數(shù)學(xué)公式表示,假設(shè)f(x)f(x)f(x)表示一個波形,它的Fourier變換是F(ξ)F(\xi)F(ξ),則
E=∫?∞+∞∣f(x)∣2dx=∫?∞+∞∣F(ξ)∣2dξE=\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2dx = \int_{-\infty}^{+\infty} |F(\xi)|^2d \xiE=∫?∞+∞?∣f(x)∣2dx=∫?∞+∞?∣F(ξ)∣2dξ
證明
∫?∞+∞∣f(x)∣2dx=∫?∞+∞f(x)f?(x)dx=∫?∞+∞[∫?∞+∞F(ξ1)ej2πξ1xdξ1][∫?∞+∞F(ξ2)ej2πξ2xdξ2]?dx=??∞+∞F(ξ1)F?(ξ2)[∫?∞+∞ej2π(ξ1?ξ2)xdx]dξ1dξ2=??∞+∞F(ξ1)F?(ξ2)δ(ξ1?ξ2)dξ1dξ2=∫?∞+∞F(ξ1)F?(ξ1)dξ1=∫?∞+∞∣F(ξ)∣2dξ\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2dx & = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)f^*(x)dx \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} F(\xi_1) e^{j 2 \pi \xi_1 x}d \xi_1\right] \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} F(\xi_2) e^{j 2 \pi \xi_2 x}d \xi_2\right]^*dx \\ & = \iint_{-\infty}^{+\infty} F(\xi_1)F^*(\xi_2) \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{j 2 \pi (\xi_1-\xi_2)x}dx\right]d \xi_1 d \xi_2 \\ & = \iint_{-\infty}^{+\infty} F(\xi_1)F^*(\xi_2)\delta(\xi_1-\xi_2)d \xi_1 d \xi_2 \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} F(\xi_1)F^*(\xi_1)d \xi_1= \int_{-\infty}^{+\infty} |F(\xi)|^2d \xi\end{aligned}∫?∞+∞?∣f(x)∣2dx?=∫?∞+∞?f(x)f?(x)dx=∫?∞+∞?[∫?∞+∞?F(ξ1?)ej2πξ1?xdξ1?][∫?∞+∞?F(ξ2?)ej2πξ2?xdξ2?]?dx=??∞+∞?F(ξ1?)F?(ξ2?)[∫?∞+∞?ej2π(ξ1??ξ2?)xdx]dξ1?dξ2?=??∞+∞?F(ξ1?)F?(ξ2?)δ(ξ1??ξ2?)dξ1?dξ2?=∫?∞+∞?F(ξ1?)F?(ξ1?)dξ1?=∫?∞+∞?∣F(ξ)∣2dξ?
解釋 第二個等號用Fourier逆變換,第三個等號用Fubini定理,第四個等號用Dirac函數(shù)的Fourier變換,第五個等號用Dirac函數(shù)的sifting property。這里稱∫?∞+∞∣f(x)∣2dx\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2dx∫?∞+∞?∣f(x)∣2dx為能量,可以用電場類比,假設(shè)f=Ef=\textbf Ef=E,x=(r,t)x=(\textbf r,t)x=(r,t),則∣f(x)∣2|f(x)|^2∣f(x)∣2就是電場的能量密度,在四維時空中對位移與時間求積分之后就是能量了。另外,這個定理與Parseval定理一樣,都表示在對波形做時域和頻域之間的轉(zhuǎn)換時,波所攜帶的能量是守恒的。Parseval定理討論的是周期性的波,假設(shè)f(x)f(x)f(x)的Fourier級數(shù)展開系數(shù)為{cn}\{c_n\}{cn?},周期為TTT,則Parseval定理為
1T∫?T/2T/2∣f(x)∣2dx=∑n=?∞+∞∣cn∣2\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} |f(x)|^2dx=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|c_n|^2T1?∫?T/2T/2?∣f(x)∣2dx=n=?∞∑+∞?∣cn?∣2
矩定理
矩的定義
對于波形f(x)f(x)f(x),稱mnm_nmn?是它的nnn階矩,其中nnn是非負整數(shù),
mn=∫?∞+∞xnf(x)dxm_n = \int_{-\infty}^{+\infty} x^n f(x)dxmn?=∫?∞+∞?xnf(x)dx
比如0階矩:
m0=∫?∞+∞f(x)dxm_0=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dxm0?=∫?∞+∞?f(x)dx
1階矩:
m1=∫?∞+∞xf(x)dxm_1=\int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dxm1?=∫?∞+∞?xf(x)dx
2階矩:
m2=∫?∞+∞x2f(x)dxm_2=\int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x)dxm2?=∫?∞+∞?x2f(x)dx
矩與Fourier變換的聯(lián)系 假設(shè)f(x)f(x)f(x)的Fourier變換為F(ξ)F(\xi)F(ξ),即
F(ξ)=∫?∞+∞f(x)e?j2πξxdxF(n)(ξ)=∫?∞+∞(?j2πx)nf(x)e?j2πξxdxF(n)(0)=(?j2π)n∫?∞+∞xnf(x)dx=(?j2π)nmn\begin{aligned}F(\xi)&=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-j 2 \pi \xi x}dx \\ F^{(n)}(\xi) & =\int_{-\infty}^{+\infty} (-j 2 \pi x)^nf(x)e^{-j 2 \pi \xi x}dx \\ F^{(n)}(0) & =(-j2 \pi)^n \int_{-\infty}^{+\infty} x^nf(x)dx = (-j2 \pi)^n m_n\end{aligned}F(ξ)F(n)(ξ)F(n)(0)?=∫?∞+∞?f(x)e?j2πξxdx=∫?∞+∞?(?j2πx)nf(x)e?j2πξxdx=(?j2π)n∫?∞+∞?xnf(x)dx=(?j2π)nmn??
所以
mn=F(n)(0)(?j2π)nm_n = \frac{F^{(n)}(0)}{(-j2 \pi)^n}mn?=(?j2π)nF(n)(0)?
例:f(x)=sinc(x)f(x)=sinc(x)f(x)=sinc(x),則
m0=F(0)(0)(?j2π)0=rect(0)=1m_0=\frac{F^{(0)}(0)}{(-j2 \pi)^0}=rect(0)=1m0?=(?j2π)0F(0)(0)?=rect(0)=1
矩與Heisenberg不確定性原理的聯(lián)系
對于波形f(x)f(x)f(x),m1m_1m1?的作用是衡量波的“中心”,m2m_2m2?的作用是是衡量波的分散程度,m2?m12m_2-m_1^2m2??m12?表示波形相對其中心的分散程度,而它的平方根m2?m12\sqrt{m_2-m_1^2}m2??m12??就被稱為這個波形的不確定性,記為Δf\Delta fΔf;假設(shè)fff與ggg表示兩個可以觀測的物理量,則
Δf?Δg≥∣m1(fg?gf)∣2\Delta f \cdot \Delta g \ge \frac{|m_1(fg-gf)|}{2}Δf?Δg≥2∣m1?(fg?gf)∣?
其中m1(fg?gf)m_1(fg-gf)m1?(fg?gf)表示fg?gffg-gffg?gf的1階矩,這個式子被稱為廣義不確定性原理,這個式子說明同時觀測多個物理量時,它們的不確定性的乘積存在一個下界,于是當其中一個物理量在以xxx為坐標的坐標系下取值比較集中(不確定性非常小)時,其他物理量在以xxx為坐標的坐標系下取值一定會比較分散(不確定性非常大)。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI512R 傅立叶光学导论14 Wiener-Khinchine定理,Rayleigh定理与矩定理的全部內(nèi)容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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