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UA OPTI570 量子力学10 位置表象与动量表象

發(fā)布時(shí)間：2025/4/14 编程问答 27 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 UA OPTI570 量子力学10 位置表象与动量表象小編覺(jué)得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

UA OPTI570 量子力學(xué)10 位置表象與動(dòng)量表象

- 位置與動(dòng)量表象的簡(jiǎn)單性質(zhì)
- 位置算符與動(dòng)量算符

這一講討論兩個(gè)非常重要的representation，也就是坐標(biāo)表象（位置表象、位移表象）與動(dòng)量表象。之前討論狀態(tài)空間的基的時(shí)候提到過(guò)，考慮一維波動(dòng)，坐標(biāo)左矢 ${∣x′?}\{|x' \rangle\}$ 對(duì)應(yīng)的波函數(shù)可以用 ${δ(x?x′)}\{\delta(x-x')\}$ 表示，動(dòng)量左矢 ${∣p′?}\{|p'\rangle\}$ 對(duì)應(yīng)的波函數(shù)可以用 ${12π?eip′x/?}\{\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ip'x/\hbar}\}$ 表示，這一講我們討論更詳細(xì)的性質(zhì)。

位置與動(dòng)量表象的簡(jiǎn)單性質(zhì)

性質(zhì)1
$?x′∣x′′?=δ(x′?x′′)?p′∣p′′?=δ(p′?p′′)\langle x'|x'' \rangle = \delta(x'-x'') \\ \langle p'|p''\rangle = \delta(p'-p'')$

性質(zhì)2 Closure Relation與計(jì)算量子態(tài)的表象
$∫?∞+∞∣x??x∣dx=1^=∫?∞+∞∣p??p∣dp\int_{-\infty}^{+\infty} |x \rangle \langle x| dx=\hat 1= \int_{-\infty}^{+\infty} |p \rangle \langle p| dp$

因此
$1=?ψ∣ψ?=?ψ∣1^∣ψ?=?ψ∣(∫?∞+∞∣x??x∣dx)∣ψ?=∫?∞+∞∣?x∣ψ?∣2dx1=\langle \psi |\psi \rangle=\langle \psi| \hat 1|\psi\rangle = \langle \psi| \left( \int_{-\infty}^{+\infty} |x \rangle \langle x| dx \right) |\psi \rangle =\int_{-\infty}^{+\infty}|\langle x |\psi \rangle |^2 dx$

所以 $∣ψ?|\psi\rangle$ 的位置表象為
$?x∣ψ?=ψ(x)\langle x|\psi\rangle = \psi(x)$

實(shí)際上這個(gè)也可以用 $∣x?|x\rangle$ 對(duì)應(yīng)的波函數(shù)計(jì)算得到：
$?x∣ψ?=∫?∞+∞δ(z?x)ψ(z)dz=ψ(x)\langle x|\psi\rangle =\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(z-x)\psi(z)dz=\psi(x)$

類似地， $∣ψ?|\psi\rangle$ 的動(dòng)量表象為
$?p∣ψ?=∫?∞+∞12π?eipx/?ψ(x)dx=ψ~(p)=FT[ψ(x)](p)\langle p|\psi\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ipx/\hbar}\psi(x)dx=\tilde \psi(p)=FT[\psi(x)](p)$

也就是它的位置表象的傅里葉變換。

總結(jié)：得到 $∣ψ?|\psi\rangle$ in the ${∣x?}\{|x\rangle\}$ -basis representation and $∣ψ?|\psi\rangle$ in the ${∣p?}\{|p\rangle\}$ -basis representation遵循下面幾個(gè)步驟

Closure Relation,

∫?∞+∞∣x??x∣dx=1^=∫?∞+∞∣p??p∣dp\int_{-\infty}^{+\infty} |x \rangle \langle x| dx=\hat 1= \int_{-\infty}^{+\infty} |p \rangle \langle p| dp

計(jì)算

∣ψ?=1^∣ψ?=∫ψ(x)∣x?dx=∫ψ~(p)∣p?dp|\psi\rangle = \hat 1|\psi \rangle=\int \psi(x)|x \rangle dx=\int \tilde \psi(p)|p\rangle dp

對(duì)應(yīng)的系數(shù)為

ψ(x)\psi(x)

與

ψ~(p)\tilde \psi(p)

分別為量子態(tài)的位置表象與動(dòng)量表象

性質(zhì)3 位置表象與動(dòng)量表象之間的轉(zhuǎn)換
根據(jù)Dirac函數(shù)的sifting property，
$?p∣x′?=12π?e?ipx′/?=?x′∣p??p′∣x?=12π?e?ip′x/?\langle p|x' \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}e^{-ipx'/\hbar} =\langle x'|p \rangle \\ \langle p'|x \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}e^{-ip'x/\hbar}$

根據(jù)這些結(jié)果推導(dǎo)，已知 $ψ(x)\psi(x)$ ，要如何得到 $ψ~(p)\tilde \psi(p)$ ？這個(gè)結(jié)果在上文已經(jīng)得到了

$ψ~(p)=?p∣ψ?=?p∣1^∣ψ?=?p∣(∫?∞+∞∣x??x∣dx)∣ψ?=∫?∞+∞?p∣x?ψ(x)dx=∫?∞+∞12π?e?ipx/?ψ(x)dx=FT[ψ(x)](p)\tilde \psi(p)=\langle p|\psi \rangle = \langle p|\hat 1|\psi \rangle = \langle p|\left( \int_{-\infty}^{+\infty} |x \rangle \langle x| dx \right)|\psi \rangle \\ = \int_{-\infty}^{+\infty} \langle p|x \rangle \psi(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}e^{-ipx/\hbar} \psi(x)dx=FT[\psi(x)](p)$

位置算符與動(dòng)量算符

前幾講有提到過(guò)，物理量在量子力學(xué)中是用算符來(lái)表示的，那么作為經(jīng)典力學(xué)中最基本的位移與動(dòng)量，它們應(yīng)該用什么算符來(lái)表示顯然是很值得思考的問(wèn)題。

首先定義位置算符 $X^:E→E\hat X: \mathcal{E} \to \mathcal{E}$ ，滿足
$X^∣ψ?=∣ψ′?\hat X|\psi \rangle=|\psi'\rangle$

其中 $∣ψ′?|\psi'\rangle$ 的位置表象與 $∣ψ?|\psi\rangle$ 的位置表象滿足 $ψ′(x)=xψ(x)\psi'(x)=x\psi(x)$

于是
$xψ(x)=x?x∣ψ?=?x∣ψ′?=?x∣X^∣ψ?,?ψ∈Ex\psi(x)=x\langle x|\psi \rangle = \langle x|\psi'\rangle = \langle x|\hat X|\psi\rangle,\forall \psi \in \mathcal{E}$

所以 $x?x∣=?x∣X^x\langle x| = \langle x|\hat X$ ，或者 $X^?∣x?=x∣x?\hat X^{\dag}|x\rangle = x|x\rangle$ 。

關(guān)于位置算符，第一個(gè)要回答的問(wèn)題是它是不是一個(gè)厄爾米特算符，因?yàn)槎驙柮滋匦允撬惴鳛榭捎^測(cè)量的必要條件，所以驗(yàn)證位置算符的厄爾米特性能幫助判斷位置是不是可觀測(cè)量。計(jì)算
$?x∣X^?∣ψ?=(?ψ∣X^∣x?)?=(?ψ∣1^X^∣x?)?=(∫?∞+∞dx′?ψ∣x′??x′∣X^∣x?)?=(∫?∞+∞dx′ψ?(x′)x′?x′∣x?)?=(∫?∞+∞dx′ψ?(x′)x′δ(x′?x))?=xψ(x)=?x∣X^∣ψ?\begin{aligned}\langle x|\hat X^{\dag}|\psi\rangle & = \left(\langle \psi|\hat X|x\rangle \right)^* \\ & =\left(\langle \psi| \hat 1\hat X|x\rangle \right)^* \\ &= \left(\int_{-\infty}^{+\infty}dx'\langle \psi| x' \rangle \langle x' |\hat X|x\rangle \right)^* \\& =\left(\int_{-\infty}^{+\infty}dx' \psi^*(x') x'\langle x' |x\rangle \right)^* \\ &=\left(\int_{-\infty}^{+\infty}dx' \psi^*(x') x'\delta(x'-x) \right)^* \\ & = x \psi(x) = \langle x|\hat X|\psi\rangle \end{aligned}$

這說(shuō)明位置算符是厄爾米特算符。

接下來(lái)定義動(dòng)量算符 $P^\hat P$ ，假設(shè)它的特征方程為 $P^∣p?=p∣p?\hat P|p \rangle = p|p \rangle$ ，我們可以先討論一下 $?x∣P^∣ψ?\langle x|\hat P|\psi\rangle$ ：
$?x∣P^∣ψ?=?x∣P^1^∣ψ?=∫?∞+∞?x∣P^∣p??p∣ψ?dp=∫?∞+∞p?x∣p??p∣ψ?dp=12π?∫?∞+∞pψˉ(p)eixp/?dp=i???x12π?∫?∞+∞ψˉ(p)eixp/?dp=?i???xψ(x)\begin{aligned} \langle x|\hat P|\psi\rangle & =\langle x|\hat P \hat 1|\psi\rangle \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} \langle x|\hat P |p \rangle \langle p|\psi\rangle dp \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} p\langle x |p \rangle \langle p|\psi\rangle dp \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty} p\bar \psi(p)e^{ixp/\hbar} dp \\ & = \frac{i}{\hbar} \frac{\partial }{\partial x} \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty} \bar \psi(p)e^{ixp/\hbar} dp \\ & = -i \hbar \frac{\partial }{\partial x} \psi(x)\end{aligned}$

也就是說(shuō)，在位置表象中， $P^\hat P$ 的作用與 $\hbar \frac{\partial }{\partial x}$ 一樣。類似地，如果是在動(dòng)量表象中， $X^\hat X$ 的作用就是和 $i???pi\hbar \frac{\partial }{\partial p}$ 一樣的。

下面考慮位置算符與動(dòng)量算符的對(duì)易：
$?x∣[X^,P^]∣ψ?=?x∣X^P^∣ψ???x∣P^X^∣ψ?=x?x∣P^∣ψ?+i???x?x∣X^∣ψ?=?i?x??xψ(x)+i???x(xψ(x))=i?ψ(x)\begin{aligned} \langle x|[\hat X,\hat P ]|\psi\rangle & = \langle x|\hat X\hat P |\psi\rangle - \langle x|\hat P \hat X|\psi\rangle \\ & = x \langle x | \hat P | \psi \rangle+i\hbar \frac{\partial }{\partial x} \langle x|\hat X |\psi \rangle \\ & = -i\hbar x \frac{\partial }{\partial x} \psi(x)+i\hbar \frac{\partial }{\partial x}(x\psi(x)) \\ & = i\hbar \psi(x)\end{aligned}$

這說(shuō)明
$[X^,P^]=i?1^=i?[\hat X,\hat P] = i\hbar \hat 1 = i \hbar$

最后給這里的各種符號(hào)做個(gè)總結(jié)，首先是與 $?x∣\langle x|$ 有關(guān)的

$?x∣ψ?=ψ(x)\langle x |\psi \rangle = \psi(x)$ ，也就是說(shuō) $?x∣\langle x |$ 的作用是把左矢對(duì)應(yīng)的波函數(shù)放在位置表象中；
$?x∣X^∣ψ?=xψ(x)\langle x |\hat X|\psi \rangle = x\psi(x)$
$?x∣P^∣ψ?=?i???xψ(x)\langle x |\hat P|\psi \rangle = -i\hbar \frac{\partial }{\partial x}\psi(x)$
$?x∣p0?=12π?eixp0/?\langle x |p_0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}}e^{ixp_0/\hbar}$
$?x∣x0?=δ(x?x0)\langle x|x_0 \rangle = \delta(x-x_0)$

然后是與 $?p∣\langle p |$ 有關(guān)的

$?p∣ψ?=ψˉ(p)\langle p | \psi \rangle=\bar \psi(p)$ ，也就是說(shuō) $?x∣\langle x |$ 的作用是把左矢對(duì)應(yīng)的波函數(shù)放在動(dòng)量表象中；
$?p∣X^∣ψ?=i???xψˉ(x)\langle p |\hat X|\psi \rangle = i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\bar \psi(x)$
$?p∣P^∣ψ?=pψˉ(x)\langle p |\hat P|\psi \rangle = p\bar \psi(x)$
$?p∣x0?=12π?e?ix0p/?\langle p|x_0 \rangle =\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}}e^{-ix_0p/\hbar}$
$?p∣p0?=δ(p?p0)\langle p |p_0 \rangle = \delta(p-p_0)$

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI570 量子力学10 位置表象与动量表象的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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