UA OPTI512R 傅立葉光學(xué)導(dǎo)論7 線性平移不變系統(tǒng)簡(jiǎn)介

• • LSI的含義
  • LSI的定義與性質(zhì)
  • • 脈沖響應(yīng)函數(shù)
    • 特征函數(shù)

第四講討論了物理光學(xué)可以用線性系統(tǒng)理論研究，因?yàn)镸axwell方程組可以被看成一個(gè)Linear shift-invariant system（LSI），這一講簡(jiǎn)單介紹一下LSI。

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LSI的含義

當(dāng)我們對(duì)物理光學(xué)的各種方程非常了解，或者當(dāng)我們對(duì)一些理論細(xì)節(jié)不感興趣的時(shí)候，可以把物理模型看成一個(gè)系統(tǒng)，用某種光源作為輸入時(shí)，系統(tǒng)會(huì)給我們某種特定的輸出，因此在用線性系統(tǒng)理論研究光學(xué)就相當(dāng)于是忽略理論細(xì)節(jié)，專注于源與像之間的關(guān)系。用$f$表示輸入，$g$表示輸出，$f,g$可以是函數(shù)、向量、表格、圖像等等，$\mathcal{S}$表示系統(tǒng)對(duì)輸入的一系列作用，那么
$$g=\mathcal{S}(f)$$

線性系統(tǒng)(linear system)最重要的性質(zhì)是疊加原理，它的物理解釋是場(chǎng)的疊加原理：

疊加原理（principle of superposition）
$$\mathcal{S}(\alpha f_1+\beta f_2)=\alpha \mathcal{S}(f_1)+\beta \mathcal{S}(f_2)=\alpha g_1+\beta g_2,?\alpha ,\beta ,f_1,f_2$$

也可以寫成更一般的形式：
$$\mathcal{S}\left(\sum _{n=1}^N{\alpha }_n{f}_n\right)=\sum _{n=1}^N{\alpha }_n\mathcal{S}(f_n)$$

例1 考慮一個(gè)很簡(jiǎn)單的平移系統(tǒng)，
$$\mathcal{S}(f)=f+c,c>0$$

當(dāng)且僅當(dāng)$\alpha +\beta =1$時(shí)，
$$\begin{gathered} \mathcal{S}(\alpha f_1+\beta f_2)=\alpha f_1+\beta f_2+c \\ =\alpha (f_1+c)+\beta (f_2+c)=\alpha \mathcal{S}(f_1)+\beta \mathcal{S}(f_2) \end{gathered}$$

所以它不是線性系統(tǒng)。

例2 考慮微分系統(tǒng)，
$$\mathcal{S}=\frac{d}{dx}$$

假設(shè)它的輸入都是可微函數(shù)，因?yàn)?br /> $$\begin{gathered} \mathcal{S}(\alpha f_1+\beta f_2)=\frac{d}{dx}(\alpha f_1+\beta f_2) \\ =\alpha \frac{d}{dx}{f}_1(x)+\beta \frac{d}{dx}{f}_2(x)=\alpha \mathcal{S}(f_1)+\beta \mathcal{S}(f_2) \end{gathered}$$

所以它是一個(gè)線性系統(tǒng)。

平移不變系統(tǒng)（Shift-invariant System，SI）的含義是，$?\alpha >0$，
$$\mathcal{S}(f(x?x_0))=\mathcal{S}(f)(x?\alpha x_0),?x_0,f$$

這個(gè)定義在光學(xué)圖像中比較常用，通常是固定$\alpha =1$的。

例1續(xù)
$$\begin{gathered} g(x)=\mathcal{S}(f(x))=f(x)+c \\ \mathcal{S}(f(x?x_0))=f(x?x_0)+c=g(x?x_0) \end{gathered}$$

所以平移系統(tǒng)是SI；

例2續(xù)
$$\begin{gathered} g(x)=\mathcal{S}(f(x))=\frac{d}{dx}f(x) \\ \mathcal{S}(f(x?x_0))=\frac{d}{dx}f(x?x_0)=\frac{d}{d(x?x_0)}f(x?x_0)=g(x?x_0) \end{gathered}$$

所以微分系統(tǒng)也是SI；

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如果$\mathcal{S}$既滿足疊加原理，又具有平移不變性，那么它就是線性平移不變系統(tǒng)。

例3 考慮波的傳播，假設(shè)位于$z=0$上的波前為$u_0(x)$，則傳播到$z$處時(shí)波前為
$$u_d(x)=\frac{1}{\sqrt{\lambda }}\int u_0(x^{\prime })\cos \theta \frac{e^{jkr}}{r}d{x}^{\prime }$$

這里$r$代表$(x,z)=(x^{\prime },0)$到$(x,z)=(x,z)$的距離，$\theta$代表$(x,z)=(x^{\prime },0)$到$(x,z)=(x,z)$的向量與$z$軸正方向所成夾角，$k$是波數(shù)，$\lambda$是波長(zhǎng)，考慮系統(tǒng)
$$\mathcal{S}(u_0)=u_d$$

則這是一個(gè)LSI，線性性由積分的線性性保證；
$$\begin{gathered} \mathcal{S}(u_0(x?x_0))=\frac{1}{\sqrt{\lambda }}\int u_0(x^{\prime }?x_0)\cos \theta \frac{e^{jkr}}{r}d{x}^{\prime } \\ {u}_d(x?x_0)=\frac{1}{\sqrt{\lambda }}\int u_0(x^{\prime })\cos \theta \frac{e^{jk\sqrt{(x^{\prime }?(x?x_0){)}^2+z^2}}}{\sqrt{(x^{\prime }?(x?x_0){)}^2+z^2}}d{x}^{\prime } \\ =\frac{1}{\sqrt{\lambda }}\int u_0(x^{\prime \prime }?x_0)\cos \theta \frac{e^{jk\sqrt{(x^{\prime \prime }?x{)}^2+z^2}}}{\sqrt{(x^{\prime \prime }?x{)}^2+z^2}}d{x}^{\prime \prime }=\mathcal{S}(u_0(x?x_0)) \end{gathered}$$

也就是平移不變性由自變量變換$x^{\prime \prime }=x^{\prime }+x_0$保證。

LSI的定義與性質(zhì)

考慮$\mathcal{L}(f(x))=g(x)$，稱$\mathcal{L}$是LSI，如果

線性性：$\mathcal{L}(\alpha f_1+\beta f_2)=\alpha g_1+\beta g_2$

平移不變性：$\mathcal{L}(f(x?x_0))=g(x?x_0)$

特征方程
$$\mathcal{L}(\Psi (x;{\xi }_0))=\underset{特征值}{H({\xi }_0)}\underset{特征函數(shù)}{\Psi (x;{\xi }_0)}$$

通常特征值是復(fù)數(shù)、特征函數(shù)也是復(fù)變函數(shù)，一種常用的特征函數(shù)的形式是
$$\Psi (x;{\xi }_0)=e^{j2\pi {\xi }_{0}x}$$

脈沖響應(yīng)函數(shù)

為了介紹特征方程的含義，我們先給這個(gè)LSI一個(gè)impulse $\delta (x)$，記
$$h(x)=\mathcal{L}(\delta (x))$$

稱$h(x)$為impulse response function（脈沖響應(yīng)函數(shù)）；對(duì)于任意連續(xù)信號(hào)$f(x)$，我們可以用Dirac函數(shù)對(duì)其采樣：
$$\sum _{i=0}^{N}f(x_i)\delta (x?x_i)$$

也可以用Dirac函數(shù)作為連續(xù)基：
$$f(x)={\int }_{?\infty }^{+\infty }\delta (x^{\prime }?x)f(x^{\prime })d{x}^{\prime }$$

現(xiàn)在將這段信號(hào)作為L(zhǎng)SI的輸入：
$$\begin{gathered} \mathcal{L}(f(x))=\mathcal{L}({\int }_{?\infty }^{+\infty }\delta (x?x^{\prime })f(x^{\prime })d{x}^{\prime }) \\ ={\int }_{?\infty }^{+\infty }\mathcal{L}(\delta (x^{\prime }?x)f(x^{\prime }))d{x}^{\prime } \\ ={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x^{\prime })\mathcal{L}(\delta (x^{\prime }?x))d{x}^{\prime } \\ ={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x^{\prime })h(x^{\prime }?x)d{x}^{\prime } \end{gathered}$$

也就是說(shuō)任意連續(xù)信號(hào)的響應(yīng)可以用這段信號(hào)本身和脈沖響應(yīng)函數(shù)計(jì)算得到，更詳細(xì)一點(diǎn)，其實(shí)就是這段信號(hào)與脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積，第2、3個(gè)等號(hào)用了線性性，第4個(gè)等號(hào)用了平移不變性，所以這個(gè)性質(zhì)要求系統(tǒng)是LSI！

特征函數(shù)

現(xiàn)在我們來(lái)證明特征函數(shù)的形式
$$\Psi (x;{\xi }_0)=e^{j2\pi {\xi }_{0}x}$$

的確滿足特征方程。

計(jì)算
$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}(e^{j2\pi {\xi }_{0}x})& ={\int }_{?\infty }^{+\infty }{e}^{j2\pi {\xi }_0{x}^{\prime }}h(x?x^{\prime })d{x}^{\prime }\\ & ={\int }_{?\infty }^{+\infty }{e}^{j2\pi {\xi }_0(x?\beta )}h(\beta )d\beta \\ & =e^{j2\pi {\xi }_{0}x}{\int }_{?\infty }^{+\infty }{e}^{?j2\pi {\xi }_0\beta }h(\beta )d\beta \end{array}$$

這樣就說(shuō)明了
$$\mathcal{L}(\Psi (x;{\xi }_0))=H({\xi }_0)\Psi (x;{\xi }_0),H({\xi }_0)={\int }_{?\infty }^{+\infty }{e}^{?j2\pi {\xi }_0\beta }h(\beta )d\beta$$

其中$H({\xi }_0)$是脈沖響應(yīng)函數(shù)$h(\beta )$的傅里葉變換。

總結(jié)

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