UA PHYS515 電磁理論II 靜電場問題4 用Green函數法求解Dirichlet問題

上一講我們討論過Dirichlet問題的積分解：
$$\Phi (r)={\int }_V\rho (r^{\prime })G(r,r^{\prime })d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }?\frac{1}{4\pi }{\oint }_{S(V)}\Phi (r^{\prime })\frac{?G}{?n}dS$$

其中source $\rho (r^{\prime })$與邊界$\Phi (r^{\prime }),r^{\prime }\in S(V)$在Dirichlet問題中都是已知的，因此求解Dirichlet問題的關鍵在于構造Green函數。在Image charge method的輔助下，我們可以把Green函數寫成下面的形式：
$$G(r,r^{\prime })=\frac{1}{|r?r^{\prime }|}+F(r,r^{\prime })$$

關于$F$的構造有下面兩個要點：

${?}^{2}F(r,r^{\prime })=0,?r^{\prime }\in V$

$G(r,r^{\prime })=0,?r^{\prime }\in S(V)$

如果是Neumann問題，
$$\begin{gathered} \Phi (r)={\int }_V\rho (r^{\prime })G(r,r^{\prime })d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime } \\ +\frac{1}{4\pi }{\oint }_{S(V)}\frac{\Phi (r^{\prime })}{?n}G(r,r^{\prime })dS+?\Phi {?}_S \end{gathered}$$

最后一項表示$\Phi$在邊界$S(V)$上的平均值，這是在取
$$\frac{?G}{?n}=?\frac{4\pi }{|S|}$$

時才成立的，我們希望$|S|$是正無窮，這樣最后一項$?\Phi {?}_S$會趨近于0，否則在Neumann問題中我們無法直接計算這一項，這種情況下Green函數法就失效了。

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例1
在三維直角坐標系中，某電場存在于$V=\{(x,y,z):x\ge 0\}$，它的source為$(a,0,0)$處電荷量為$q$的點電荷，Dirichlet條件為$\Phi (0,y,z)={\Phi }_0,?y,z$。

解
電荷密度為
$$\rho (r^{\prime })=q{\delta }^3(r^{\prime }?r_0),r_0=(a,0,0)$$

先寫出Green函數
$$G(r,r^{\prime })=\frac{1}{|r?r^{\prime }|}+F(r,r^{\prime })$$

其中$F$滿足下面兩個條件：
$$\begin{gathered} {?}^{2}F(r,r^{\prime })=0 \\ G(r,r^{\prime }){|}_{r^{\prime }\in S}=0=F(r,r^{\prime }){|}_S=?\frac{1}{|r?r^{\prime }|}{|}_S \end{gathered}$$

其中$S=\{(x,y,z):x=0\}$表示邊界，于是
$$F{|}_S=?\frac{1}{\sqrt{x^2+(y?y^{\prime }{)}^2+(z?z^{\prime }{)}^2}}$$

根據Image charge method的思路，在討論$r^{\prime }$處的電荷密度幾何效應時，我們總是可以在它關于$y?z$平面對稱的位置放上一個image charge抵消掉它的作用，于是
$$F(r,r^{\prime })=?\frac{1}{\sqrt{(x+x^{\prime }{)}^2+(y?y^{\prime }{)}^2+(z?z^{\prime }{)}^2}}$$

可以驗證它滿足上面提到的兩個條件。于是Green函數為
$$\begin{gathered} G(r,r^{\prime })=\frac{1}{\sqrt{(x?x^{\prime }{)}^2+(y?y^{\prime }{)}^2+(z?z^{\prime }{)}^2}} \\ ?\frac{1}{\sqrt{(x+x^{\prime }{)}^2+(y?y^{\prime }{)}^2+(z?z^{\prime }{)}^2}} \end{gathered}$$

因此我們可以寫出電勢能的積分解：
$$\Phi (r)={\int }_V\rho (r^{\prime })G(r,r^{\prime })d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }?\frac{1}{4\pi }{\oint }_S{\Phi }_0\frac{?G(r,r^{\prime })}{?n^{\prime }}d{S}^{\prime }$$

這個東西看上去很難計算，但實際上還算是有規律的，第一個積分中電荷密度與dirac函數成正比，積分計算可以實用dirac函數的性質：
$$\begin{gathered} {\int }_V\rho (r^{\prime })G(r,r^{\prime })d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }={\int }_{V}q{\delta }^3(r^{\prime }?{\rho }_0)G(r,r^{\prime })d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime } \\ =qG(r,r_0)=\frac{q}{\sqrt{(x?a{)}^2+y^2+z^2}}?\frac{q}{\sqrt{(x+a{)}^2+y^2+z^2}} \end{gathered}$$

第二個積分中，需要注意的是$n$是邊界$S$的外法線方向，也就是指向$V^C$的方向，因此${\hat{n}}^{\prime }=?{\hat{x}}^{\prime }$，即$x$軸的負向，另外’表示這是電荷密度的坐標，不帶‘的表示測試電荷的坐標。先計算方向導數
$$\frac{?G(r,r^{\prime })}{?n}=?\frac{?G(r,r^{\prime })}{?x^{\prime }}{|}_{r^{\prime }\in S}=?\frac{2x}{(x^2+(y?y^{\prime }{)}^2+(z?z^{\prime }{)}^2{)}^{3/2}}$$

再計算曲面積分
$${\oint }_S{\Phi }_0\frac{?G(r,r^{\prime })}{?n}dS=?\frac{?2x{\Phi }_0}{(x^2+(y?y^{\prime }{)}^2+(z?z^{\prime }{)}^2{)}^{3/2}}d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }$$

所以最終答案為（這個積分就懶得算了，就是在y-z平面積分）
$$\begin{gathered} \Phi (r)=\frac{q}{\sqrt{(x?a{)}^2+y^2+z^2}}?\frac{q}{\sqrt{(x+a{)}^2+y^2+z^2}} \\ +\frac{x{\Phi }_0}{2\pi }?\frac{1}{(x^2+(y?y^{\prime }{)}^2+(z?z^{\prime }{)}^2{)}^{3/2}}d{y}^{\prime }d{z}^{\prime } \end{gathered}$$

由此可以計算電場
$$E=??\Phi$$

以及y-z平面上的導出電荷密度$\sigma$:
$$\frac{?\Phi }{?n}=?4\pi \sigma$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA PHYS515 电磁理论II 静电场问题4 用Green函数法求解Dirichlet问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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