UA PHYS515A 電磁理論III 靜磁學(xué)問(wèn)題1 Maxwell方程與靜磁學(xué)問(wèn)題

• • 靜磁學(xué)的Maxwell方程
  • • 畢奧-薩伐爾定律
    • 安培定律

靜磁學(xué)的Maxwell方程

假設(shè)電場(chǎng)與電位移為0，$B$與$H$與時(shí)間無(wú)關(guān)，$B$是magnetic induction，$H$是magnetic field，在各向同性介質(zhì)中
$$H={\mu }^{\prime }B,{\mu }^{\prime }=\frac{1}{\mu }$$

在上面這些設(shè)定下，我們討論的問(wèn)題就是靜磁學(xué)(magnetostatics)問(wèn)題；這時(shí)我們需要的是Maxwell方程組中描述磁場(chǎng)的兩個(gè)方程：
$$\begin{gathered} ??B=0 \\ ?\times H=4\pi J \end{gathered}$$

畢奧-薩伐爾定律

我們從比較一般的情況出發(fā)，試圖導(dǎo)出$B$的積分形式，根據(jù)Biot-Savart定律，
$$dB=\frac{Id{l}^{\prime }\times (r?r^{\prime })}{c|r?r^{\prime }{|}^3}$$

其中$r$表示觀察位置，$r^{\prime }$表示電流微元位置；我們對(duì)這個(gè)公式中的部分因子做一些替換，首先
$$\frac{r?r^{\prime }}{|r?r^{\prime }{|}^3}=??\frac{1}{|r?r^{\prime }|}$$

然后我們把電流微元用體積上的電流密度表示
$$Id{l}^{\prime }=Jd{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }$$

因此
$$dB=?\frac{1}{c}J\times ?\frac{1}{|r?r^{\prime }|}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }$$

下面我們使用一個(gè)場(chǎng)論恒等式，$a$是一個(gè)矢量場(chǎng)，$b$是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)，則
$$?\times (ba)=?b\times a+b?\times a$$

取$a=J,b=\frac{1}{|r?r^{\prime }|}$，因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$J=J(r^{\prime })$，于是$?J=0$，
$$?\times \frac{J}{|r?r^{\prime }|}=?\left(\frac{1}{|r?r^{\prime }|}\right)\times J$$

綜上
$$\begin{gathered} dB=\frac{1}{c}?\times \frac{J}{|r?r^{\prime }|}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime } \\ B=\frac{1}{c}?\times {\int }_V\frac{J(r^{\prime })}{|r?r^{\prime }|}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime } \end{gathered}$$

這說(shuō)明$B$是某個(gè)矢量場(chǎng)的旋度，根據(jù)守恒律，$B$的散度為0，于是$??B=0$成立；另外這個(gè)式子還可以直接得到磁場(chǎng)的向量勢(shì)的形式：
$$A=\frac{1}{c}{\int }_V\frac{J}{|r?r^{\prime }|}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }$$

如果沒有邊界條件，那么上面這兩個(gè)式子就是靜磁學(xué)問(wèn)題的解。

安培定律

各向同性介質(zhì)中，安培定律說(shuō)的是
$$?\times B=?\times \mu H=\frac{4\pi \mu }{c}J$$

在用Green函數(shù)法求解靜磁學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們也會(huì)經(jīng)常用
$$H=B?4\pi M$$

其中$M$是magnetic dipole的average moment。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA PHYS515A 电磁理论III 静磁学问题1 Maxwell方程与静磁学问题的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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