UA MATH567 高維統計IV Lipschitz組合4 對稱群上的均勻分布

用$S_n$表示一個對稱群，為簡化起見，我們假設$S_n$包含$\{1,2,?,n\}$上的所有置換，則$S_n$有$n!$個元素。我們可以在$S_n$上引入度量使之成為度量空間：$?\sigma ,\tau \in S_n$，引入normalized Hamming distance
$$d(\sigma ,\tau )=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{1}_{\sigma (i)=\tau (i)}$$

以$S_5$為例，假設
$$\sigma =\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 3& 4& 5& 1\end{array}\right),\tau =\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 3& 5& 4& 2& 1\end{array}\right)$$

這種記號表示置換$\sigma$把上一行的指標置換為下一行的對應指標，于是
$$\begin{gathered} \sigma (1)=2=3=\tau (1) \\ \sigma (2)=3=5=\tau (2) \\ \sigma (4)=5=2=\tau (4) \end{gathered}$$

所以
$$d(\sigma ,\tau )=3/5$$

接下來，我們可以在度量空間$(S_n,d)$上定義Borel代數，用$\mathcal{B}(S_n)$來表示，這樣我們就有了一個可測空間$(S_n,\mathcal{B}(S_n))$，在這個可測空間上，我們用古典概型的思路定義均勻概率測度：
$$P(A)=\frac{|A|}{n!},?A\in \mathcal{B}(S_n)$$

綜上，我們在$n$階對稱群上定義了概率空間：$(S_n,\mathcal{B}(S_n),P)$。

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假設$X$是對稱群上的均勻分布，記為$X～Unif(S_n)$，則我們有如下結論：

對稱群上的均勻分布的Lipschitz函數是亞高斯的
$f:S_n\to \mathbb{R}$是均勻分布，則$?C>0$
$${\Vert f(X)?Ef(X)\Vert }_{{\psi }_2}\le \frac{C{\Vert f\Vert }_{Lip}}{\sqrt{n}}$$

評注
在嘗試證明這個結論之前，我們先按照慣例推一下對稱群上的Isoperimetric不等式，$?A\in \mathcal{B}(S_n)$，定義
$$A_t=\{x\in S_n:?y\in A,d(x,y)\le t\}$$

如果$0\le t<1/n$，則$A_t=A$，如果$1/n\le t<2/n$，則$A_t$包含所有與$A$中的置換不超過一位不相同的所有置換；如果$k/n\le t<(k+1)/n$，則$A_t$包含所有與$A$中的置換不超過$k$(注意到$k=[nt]$)位不相同的所有置換。現在假設$P(A)>1/2$，則
$$P(A_t)=P(\{x\in S_n:?y\in A,d(x,y)\le t\})$$

用$X$表示置換$x,y$的差別，相同位記為$0$，不相同記為$0$，則$X$的取值在Hamming cube $\{0,1{\}}^n$上，$d(x,y)\le t$說明
$$\sum _{i=1}^n{X}_i\le [nt]$$

因此，如果$X～Unif(\{?1,1{\}}^n)$
$$P(\{x\in S_n:?y\in A,d(x,y)\le t\})\ge P(\sum _{i=1}^n(X_i+1)/2\le [nt])$$

$Unif(\{?1,1{\}}^n)$是一個亞高斯隨機向量，根據推廣Hoeffding不等式，$?C>0$

$$P(\sum _{i=1}^n{X}_i/2\le a)\ge 1?2\exp \left(?C{a}^2/n\right)$$

所以$?C>0$
$$P(\sum _{i=1}^n(X_i+1)/2\le [nt])\ge 1?2\exp (?Cn{t}^2)$$

這樣我們就得到了對稱群上的Isoperimetric不等式。

證明
假設${\Vert f\Vert }_{Lip}=1$，不然我們總是可以分析$f/{\Vert f\Vert }_{Lip}$，

第一步：說明$f(X)?M$是亞高斯的，其中$M$是$f(X)$的中位數，也就是
$$P(f(X)\ge M)\ge 1/2,P(f(X)\le M)\ge 1/2$$

定義
$$A=\{x\in S_n:f(x)\le M\}$$

則
$$\sigma (A)=P(X\in A)=P(f(X)\le M)\ge 1/2$$

根據對稱群上的Isoperimetric不等式，
$$P(A_t)\ge 1?2e^{?Cn{t}^2},?C>0$$

因為$x\in A_t$說明$?y\in A$, $d(x,y)\le t$，根據Lipschitz函數的定義：
$$f(x)?f(y)\le {\Vert f\Vert }_{Lip}d(x,y)\le t$$

$y\in A$說明$f(y)\le M$，所以
$$f(x)\le f(y)+t\le M+t$$

因此

$$P(f(X)?M\le t)\ge P(X\in A_t)=P(A_t)\ge 1?2e^{?Cn{t}^2}$$

類似地，對于$f(X)?M\ge ?t$，我們有
$$P(f(X)?M\ge ?t)\ge 1?2e^{?Cn{t}^2}$$

所以
$$P(|f(X)?M|\ge t)\le 4e^{?Cn{t}^2}$$

第二步：使用centering技巧，假設$X$是亞高斯隨機變量，則$X?EX$也是亞高斯隨機變量，并且存在常數$C$使得
$${\Vert X?EX\Vert }_{{\psi }_2}\le C{\Vert X\Vert }_{{\psi }_2}$$

因為$f(X)?M$是亞高斯的，于是$f(X)?M?E[f(X)?M]=f(X)?Ef(X)$也是亞高斯的，證畢。

總結

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