UA MATH563 概率論的數學基礎 中心極限定理21 Skorohod定理的證明

Skorohod定理
如果$F_n?F$，則存在以$F_n$為cdf的$Y_n$與以$F$為cdf的$Y$，使得$Y_n{\to }_{a.s.}Y$。

證明
簡單起見，因為$(0,1)$與$\mathcal{R}$是同胚，我們考慮$\Omega =(0,1)$，$\mathcal{F}=\mathcal{B}((0,1))$，$P$是均勻概率測度，$?x\in \Omega$，定義
$$\begin{gathered} Y_n(x)=\sup \{y:F_n(y)<x\} \\ Y(x)=\sup \{y:F(y)<x\} \end{gathered}$$

這其實是分位點的一般性定義，于是$Y_n～F_n,Y～F$。定義
$$\begin{gathered} a(x)=\sup \{y:F(y)<x\} \\ b(x)=\inf \{y:F(y)>x\} \\ {\Omega }_0=\{x:(a(x),b(x))=?\} \end{gathered}$$

如果$(a(x),b(x))=?$，就說明分布函數有一段是平的，顯然$\Omega ?{\Omega }_0$可列。要說明$Y_n{\to }_{a.s.}Y$，我們需要$Y_n(x)\to Y(x),?x\in {\Omega }_0$。

$?x\in {\Omega }_0$，$a(x)=b(x)$，根據定義
$$\begin{gathered} F(y)<x,?y<a(x)=Y(x) \\ F(z)>x,?z>b(x)=Y(x) \end{gathered}$$

于是
$$\mathrm{liminf}{Y}_n(x)\ge Y(x),?x\in {\Omega }_0$$

因為$F(y)<x,F_n(x)\to F(x)$，根據極限的保號性，$F_n(y)<x$，于是$y\le Y_n(x)$，所以$\mathrm{liminf}{Y}_n(x)\ge y$，取一列$y$使其遞增收斂到$Y(x)$，根據連續性，$\mathrm{liminf}{Y}_n(x)\ge Y(x),?x\in {\Omega }_0$

類似的，
$$\mathrm{limsup}{Y}_n(x)\le Y(x),?x\in {\Omega }_0$$

于是
$$Y_n(x)\to Y(x),?x\in {\Omega }_0$$

總結

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