UA MATH563 概率論的數學基礎 中心極限定理16 Kolmogorov 3-series定理

考慮${\sum }_{n\ge 1}{a}_n$，這個級數收斂的充要條件是它的部分和收斂，對于實數序列，這個條件又等價于它的部分和序列是Cauchy序列：$??>0$,$?L$, $?N,M>L,N<M$，
$$|\sum _{n=N+1}^M{a}_n|<?$$

我們想知道的是對于隨機變量序列能不能有類似的結論？或者能不能給出隨機變量序列必然收斂的充要條件？

---

引理
假設$\{X_i{\}}_{i\ge 1}$獨立，$E{X}_i=0$并且${\sum }_{n\ge 1}Var(X_n)$收斂，則${\sum }_{n\ge 1}{X}_n$幾乎必然收斂。

證明
下面先給出一個有用的不等式：
$$P(|X+Y|>2?)\le P(|X|>?)+P(|Y|>?)$$

因為$\{|X+Y|\le 2?\}?\{|X|\le ?\}\cap \{|Y|\le ?\}$，取補集后根據概率的次可加性就可以得到這個不等式了。

記$r_M={\sup }_{n,m\ge M}|S_n?S_m|$，其中$S_k={\sum }_{i=1}^k{X}_i$，我們需要說明$r_M{\to }_{as}0$，根據Kolmogorov maximal不等式，
$$P(\underset{N\le m\le M}{\max }|S_m?S_N|>?)\le \frac{Var(S_M?S_N)}{{?}^2}=\sum _{i=N+1}^M\frac{Var(X_i)}{{?}^2}$$

${\sum }_{n\ge 1}Var(X_n)$收斂說明它的部分和序列是Cauchy序列，因此${\sum }_{i=N+1}^{M}Var(X_i)$收斂到0，于是，$$\begin{gathered} P(r_M>2?)=P(\underset{n,m\ge M}{\sup }|S_n?S_m|>2?) \\ \le P(\underset{m,n\ge M}{\sup }|S_n?S_M|>?)+P(\underset{m,n\ge M}{\sup }|S_m?S_M|>?) \\ =2P(\underset{m,n\ge M}{\sup }|S_m?S_M|>?)\le 2\sum _{i=M+1}^{\infty }\frac{Var(X_i)}{{?}^2}\to 0,asM\to \infty \end{gathered}$$

于是$r_M{\to }_{P}0$，我們可以找到$r_M$的一個子列$\{r_{M_k}\}$使得$r_{M_k}{\to }_{a.s.}0$，又因為$r_M(w)\downarrow 0$給定$w\in \Omega$，于是$r_M{\to }_{as}0$。

---

Kolmogorov 3-series Theorem
假設$\{X_i{\}}_{i\ge 1}$獨立，$A>0$，定義$Y_i=X_i{1}_{|X_i|\le A}$，則${\sum }_{n\ge 1}{X}_n$幾乎必然收斂的充要條件是：

${\sum }_{n\ge 1}P(|X_n|>A)<\infty$

${\sum }_{n\ge 1}E[Y_n]$收斂

${\sum }_{n\ge 1}Var(Y_n)$收斂

證明
必要性是非常簡單的，根據${\sum }_{n\ge 1}{X}_n$幾乎必然收斂直接就可以得到1、2、3這三條性質。

說明充分性：假設1、2、3成立，定義$Z_i=Y_i?E{Y}_i$，則$Z_i$是獨立零均值的隨機變量，${\sum }_{n\ge 1}Var(Z_n)={\sum }_{n\ge 1}Var(Y_n)$收斂，于是根據引理，${\sum }_{n\ge 1}{Z}_n$幾乎必然收斂。
$$\sum _{n\ge 1}{Z}_n=\sum _{n\ge 1}{Y}_n?\sum _{n\ge 1}E[Y_n]$$

其中${\sum }_{n\ge 1}E[Y_n]$收斂，因此${\sum }_{n\ge 1}{Y}_n$幾乎必然收斂。因為$Y_n=X_n{1}_{|X_n|\le A}$，于是
$$P(Y_n=X_n)=P(|X_n|>A)$$

根據1，${\sum }_{n\ge 1}P(|X_n|>A)<\infty$，于是，由Borel-Cantelli引理1，
$$P(Y_n=X_{n}i.o.)=0,P(Y_n=X_{n}e.v.)=1$$

所以$?w\in \Omega$, $?N(w)$, $?n>N(w)$, $Y_n(w)=X_n(w)$，于是${\sum }_{n\ge 1}{X}_n$幾乎必然收斂。

---

例
i) 根據Kolmogorov 3-series Theorem，如果$\{X_i{\}}_{i\ge 1}$獨立，$|X_i|\le c$，因為${\sum }_{n\ge 1}P(|X_n|\ge c)=0<\infty$，$Y_i=X_i{1}_{|X_i|\le c}$, ${\sum }_{n\ge 1}E[Y_n]={\sum }_{n\ge 1}E[X_n]$，同樣的，${\sum }_{n\ge 1}Var(Y_n)={\sum }_{n\ge 1}Var(X_n)$，則${\sum }_{n\ge 1}{X}_n$幾乎必然收斂等價于${\sum }_{n\ge 1}E[X_n],{\sum }_{n\ge 1}Var(X_n)$收斂。

ii) 考慮交錯級數${\sum }_{n\ge 1}(?1{)}^n/n^Q$，這個級數條件收斂如果$Q>0$，絕對收斂如果$Q>1$，如果我們隨機化這個級數，引入${?}_n$滿足$P({?}_n=1)=1/2,P({?}_n=?1)=1/2$，考慮級數${\sum }_{n\ge 1}{?}_n/n^Q$，因為$E{?}_n/n^Q=0$，所以${\sum }_{n\ge 1}E[{?}_n/n^Q]$收斂，又因為$Var({?}_n/Q)=1/n^{2Q}$，于是${\sum }_{n\ge 1}Var({?}_n/n^Q)$收斂除非$Q>1/2$。根據i)，${\sum }_{n\ge 1}{?}_n/n^Q$幾乎必然收斂如果$Q>1/2$。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理16 Kolmogorov 3-series定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。