UA MATH563 概率論的數學基礎 中心極限定理7 Kolmogorov extension theorem及其擴展

上一講為了構造包含無限個獨立隨機變量的序列，我們使用了Kolmogorov extension theorem：

如果在$({\mathbb{R}}^n,\mathcal{B}({\mathbb{R}}^n))$上有概率測度${\nu }_n$，且${\nu }_n$是一致的(consistent)，即$${\nu }_{n+1}((a_1,b_1]\times ?\times (a_n,b_n]\times \mathbb{R})={\nu }_n((a_1,b_1]\times ?\times (a_n,b_n])$$那么我們可以在可測空間$({\mathbb{R}}^{\infty },\mathcal{B}({\mathbb{R}}^{\infty }))$上構造唯一一個概率測度$P$，它滿足$$P(\{w:w_i\in (a_i,b_i],1\le i\le n\})={\nu }_n((a_1,b_1]\times ?\times (a_n,b_n])$$

這一講我們介紹Kolmogorov extension theorem的證明。另外，基于這個定理，我們只能在樣本空間是無窮維的歐氏空間的情況下定義概率，我們希望在其他的無窮維空間上也可以定義概率，于是我們需要對Kolmogorov extension theorem進行擴展，這一講也會介紹一些相關的推廣。

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Kolmogorov擴展定理的證明

Kolmogorov擴展定理有很多版本的證明，這里介紹經典證明的思路以及一種新的證明思路，并附上參考文獻。

版本一：基于有限維的測度在無窮維歐氏空間上定義pre-measure，然后用pre-measure導出外測度，再用Caratheodory擴張的思路得到測度（這個是經典的實分析構造測度的思路，版本一超鏈接點進去的證明比較長，這里有一個簡化版本，以及還有一個更詳細的版本）

版本二：考慮到$|2^{\mathbb{N}}|=|\mathbb{R}|$，我們可以在自然數集的冪集中討論問題，也就是用以$2$為底的冪級數代替實數進行分析，雖然得到測度還是需要Caratheodory擴張，但這個版本的證明是最簡潔的。

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推廣1 standard Borel空間 (nice spaces)
考慮可測空間$(S,\mathcal{S})$，稱它是標準Borel空間如果存在從$S$到$\mathbb{R}$的雙射$?$，并且$?,{?}^{?1}$都是可測的，這樣的空間也被稱為nice space。Kolmogorov extension theorem適用于這樣的空間。

推廣2 離散型隨機變量
Kolmogorov extension theorem適用于離散型隨機變量。

推廣3 not nice spaces
可以使用Ionescu-Tulcea theorem作為Kolmogorov extension theorem的推廣。這里僅給出Ionescu-Tulcea theorem的內容。

首先我們引入一個概念，Markov kernel，可以把它理解為Markov鏈的狀態轉移矩陣推廣到用映射表示的一種更一般的工具。我們回顧一下狀態轉移矩陣，$[p_{ij}]$表示從狀態$j$轉移到狀態$i$的概率，抽象成映射的話$j,i$就是輸入，輸出是一個概率，有了這個思路之后我們嘗試給出Markov kernel的正式定義：

假設$(X,\mathcal{A}),(Y,\mathcal{B})$是兩個可測空間，定義映射$\kappa :\mathcal{B}\times X\to [0,1]$，滿足

給定$B\in \mathcal{B}$, $x\to \kappa (B,x)$是$\mathcal{A}$-可測的；

給定$x\in X$，$B\to \kappa (B,x)$是一個概率測度；

直白的說$\kappa (B,x)$應該表示從狀態$x$轉移到狀態集$B$的概率，稱這樣的$\kappa$是一個Markov kernel。

推廣2指出Kolmogorov extension theorem適用于離散型隨機變量，因此也就適用于Markov鏈，那么如果我們把Markov鏈推廣到了Markov kernel，并給出基于Markov kernel進行extension的做法，我們就可以對一般的概率空間也進行與Kolmogorov extension類似的操作，使之能推廣到無窮維了。這就是Ionescu-Tulcea theorem的基本思路。下面我們敘述一下定理內容：

假設$({\Omega }_0,{\mathcal{A}}_0,P_0)$是一個概率空間，$({\Omega }_i,{\mathcal{A}}_i)$是一系列可測空間，$i\ge 1$，對每一個這樣的可測空間，我們都可以定義一個$({\Omega }^{i?1},{\mathcal{A}}^{i?1})$與$({\Omega }_i,{\mathcal{A}}_i)$之間的Markov kernel ${\kappa }_i$，其中
$${\Omega }^{i?1}=\prod _{k=0}^{i?1}{\Omega }_k,{\mathcal{A}}^{i?1}={?}_{k=0}^{i?1}{\mathcal{A}}_k$$

對$\sigma$-代數的乘積不太熟悉的讀者可以參考乘積測度。則對每一個$({\Omega }_i,{\mathcal{A}}_i)$，存在一個概率測度
$$P_i=P_0?({?}_{k=1}^i{\kappa }_i)$$

并且在無窮維乘積空間$({\prod }_{k=0}^{\infty }{\Omega }_k,{?}_{k=0}^{\infty }{\mathcal{A}}_k)$上存在唯一的概率測度，它滿足
$$P(A\times \prod _{k=i+1}^{\infty }{\Omega }_k)=P_i(A),?A\in {\mathcal{A}}^i$$

總結

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