UA MATH563 概率論的數學基礎 中心極限定理3 推導一元隨機變量獨立性的判斷方法

上一講我們基于測度論定義了事件、事件序列、$\sigma$-代數與隨機變量的獨立性，并給出了基于$\pi ?\lambda$定理導出的獨立性的判斷方法，這一講我們的目標是基于這個判斷方法導出判斷我們最常用的一元隨機變量獨立性的方法。我們先列出上一講導出的定理：

定理 假設${\mathcal{A}}_i,1\le i\le n$是一列獨立的$\pi$-類，則$\sigma (A_i),1\le i\le n$獨立。

現在討論隨機變量$X_i:(\Omega ,\mathcal{F},P)\to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})),1\le i\le n$，上一講我們定義了隨機變量序列的獨立性，如果$\sigma (X_i)$互相獨立，則$X_i$獨立，其中
$$\sigma (X_i)=\{X_i^{?1}(B):B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}$$

要用定理說明$\sigma (X_i)$互相獨立，我們需要找到可以生成$\sigma (X_i)$的一個$\pi$-類，回顧一下在實分析中，我們介紹過Borel代數的構造：

Proposition 1.2 $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ contains all open intervals, closed intervals, half-open intervals, open rays and closed rays.

也就是說Borel代數可以由一種特定的區間族生成，我們有下面幾種不同的選項：

$\{(?\infty ,x]:x\in \mathbb{R}\}$

$\{(?\infty ,x):x\in \mathbb{R}\}$

$\{[x,+\infty ):x\in \mathbb{R}\}$

$\{(x,+\infty ):x\in \mathbb{R}\}$

$\{(x,y):x,y\in \mathbb{R}\}$

$\{[x,y]:x,y\in \mathbb{R}\}$

這六種集族每一種都可以生成Borel代數$\mathcal{B}(\mathbb{R})$，于是接下來我們要做的是分別驗證這六種集族以及是否是$\pi$-類，事實上這六種集族都是$\pi$-類，簡單驗證任意兩個集合的交也在集族中即可，下面舉三個例子，剩下的留給讀者。

第一種：$(\infty ,x]\cap (?\infty ,y]=(?\infty ,\min (x,y)]$，所以是$\pi$-類；
第四種：$(x,+\infty )\cap (y,+\infty )=(\max (x,y),+\infty )$，所以是$\pi$-類；
第六種：$[x,y]\cap [a,b]=[\max (a,x),\min (b,y)]$，所以是$\pi$-類。

現在根據定理，只要集族是獨立的，那么隨機變量就是獨立的，于是我們可以獲得下面六種判別方法：

定理 一元隨機變量獨立性的判斷方法
隨機變量序列$X_i:(\Omega ,\mathcal{F},P)\to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})),1\le i\le n$獨立的充分條件是（下列六個等價條件中任意一個即可）

$P(X_1\le x_1,?,X_n\le x_n)={\prod }_{i=1}^{n}P(X_i\le x_i)$

$P(X_1<x_1,?,X_n<x_n)={\prod }_{i=1}^{n}P(X_i<x_i)$

$P(X_1\ge x_1,?,X_n\ge x_n)={\prod }_{i=1}^{n}P(X_i\ge x_i)$

$P(X_1>x_1,?,X_n>x_n)={\prod }_{i=1}^{n}P(X_i>x_i)$

$P(x_1\le X_1\le y_1,?,x_n\le X_n\le y_n)={\prod }_{i=1}^{n}P(x_i\le X_i\le y_i)$

$P(x_1<X_1<y_1,?,x_n<X_n<y_n)={\prod }_{i=1}^{n}P(x_i<X_i<y_i)$

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總結

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