UA MATH523A 實分析3 積分理論例題 一個測度與積分的綜合計算題

例 $E_n$是一列$[0,1]$上的Lebesgue可測集，$?k\in [0,1]$，滿足
$$\underset{n\to \infty }{\lim }m(E_n\cap [0,a])=ka,?a\in [0,1]$$

證明$?f\in L^1([0,1])$,
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{E_n}fdm=k{\int }_0^{1}f(x)dx$$

證

Claim：$?I?[0,1]$, $I$是一個區(qū)間，有$m(E_n\cap I)\to km(I)$。

根據(jù)假設(shè)，對$[0,a]$這類區(qū)間顯然是成立的，我們需要還討論$[b,1]$與$(a,b)$這兩類區(qū)間：

$m(E_n\cap [b,1])=m(E_n?[0,b))=m(E_n?[0,b])=m(E_n)?m(E_n\cap [0,b])\to k(1?b)$，其中$m(E_n)\to k$，取$a=1$即可驗證；

$m(E_n\cap (a,b))=m(E_n?[0,a]?[b,1])=m(E_n)?m(E_n\cap [0,a])?m(E_n\cap [b,1])\to k(b?a)$

這樣我們就說明了Claim為真。

下面我們討論關(guān)于積分的結(jié)論，沒什么頭緒的時候，關(guān)于積分的結(jié)論我們總是可以先討論簡單可測函數(shù)然后再用簡單可測函數(shù)逼近一般可測函數(shù)的思路處理。所以假設(shè)
$$?=\sum _{j=1}^N{a}_j{\chi }_{I_j}$$

其中$I_j$是$[0,1]$上的區(qū)間。計算
$${\int }_{E_n}?dm=\sum _{j=1}^N{a}_{j}m(E_n\cap I_j)\to \sum _{j=1}^{N}k{a}_{j}m(I_j)=k{\int }_0^1?(x)dx$$

也就是說關(guān)于積分的那個結(jié)論對簡單可測函數(shù)是成立的。

$?f\in L^1([0,1]),?>0$，根據(jù)Theorem 2.10，$??$為簡單函數(shù)，使得
$$\int |f??|dm<\frac{?}{3}$$

因為
$${\int }_{E_n}?dm\to k{\int }_0^1?(x)dx,n\to \infty$$

$?N\in \mathbb{N},?n\ge N$,
$$\left|{\int }_{E_n}?dm?k{\int }_0^1?(x)dx\right|<\frac{?}{3}$$

所以
$$\begin{gathered} \left|{\int }_{E_n}fdm?k{\int }_0^{1}f(x)dx\right| \\ =\left|{\int }_{E_n}(f??)dm+k{\int }_0^1(f??)(x)dx+{\int }_{E_n}?dm?k{\int }_0^1?(x)dx\right| \\ \le {\int }_{E_n}|f??|dm+k{\int }_0^1|f??|(x)dx+\left|{\int }_{E_n}?dm?k{\int }_0^1?(x)dx\right| \\ <\frac{?}{3}+\frac{?}{3}+\frac{?}{3}=? \end{gathered}$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH523A 实分析3 积分理论例题 一个测度与积分的综合计算题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。