UA MATH523A 實分析3 積分理論例題 控制收斂定理計算一元積分的極限

例 假設(shè)$g\in C^1([0,\infty )),g^{\prime }$有界，$g(0)=0$，計算
$$\underset{n\to \infty }{\lim }n{\int }_0^{\infty }\frac{g(x/n)}{x}{e}^{?x}dx$$

解 記$$f_n(x)=n\frac{g(x/n)}{x}{e}^{?x}=\frac{g(x/n)}{x/n}{e}^{?x}=\frac{g(x/n)?g(0)}{x/n?0}{e}^{?x}$$

基于這個觀察，當$n\to \infty$時，顯然第一個因式就是一個導數(shù)，用Lagrange中值定理，$?{\xi }_{x,n}\in [0,x/n]$,
$$\frac{g(x/n)?g(0)}{x/n?0}=g^{\prime }({\xi }_{x,n})$$

因為$g^{\prime }$有界，$?M>0$, $|g^{\prime }({\xi }_{x,n})|\le M$，所以
$$|f_n(x)|=|g^{\prime }({\xi }_{x,n})|e^{?x}\le M{e}^{?x}\in L^1$$

因此我們可以對原問題使用控制收斂定理交換極限與積分的順序。注意到$?x\in [0,\infty )$
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{g(x/n)?g(0)}{x/n?0}{e}^{?x}=g^{\prime }(0)e^{?x}$$

第二個等號的依據(jù)是$g\in C^1$，所以$g^{\prime }$是連續(xù)的。根據(jù)控制收斂定理，
$$\underset{n\to \infty }{\lim }n{\int }_0^{\infty }\frac{g(x/n)}{x}{e}^{?x}dx={\int }_0^{\infty }{g}^{\prime }(0)e^{?x}dx=g^{\prime }(0)$$

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總結(jié)

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