UA MATH563 概率論的數學基礎 鞅論初步7 停時與Upcrossing不等式

這一講我們引入一個非常重要的概念——停時(Stopping time)。

假設$\{{\mathcal{F}}_n\}$是一個filtration，稱隨機變量$N:\Omega \to \mathbb{N}$是$\{{\mathcal{F}}_n\}$上的一個停時，如果$?n<\infty$，
$$\{w\in \Omega :N(w)\le n\}\in {\mathcal{F}}_n$$

或者用等價地
$$\{w\in \Omega :N(w)=n\}\in {\mathcal{F}}_n$$

例 驗證一個隨機變量是停時 $\{X_n{\}}_{n\ge 0}$是一列隨機變量，${\mathcal{F}}_n=\sigma (X_0,?,X_n),?n\ge 0$。用停時的定義驗證一個隨機變量是否是停時：

i）定義
$$N=\inf \{n\ge 0:X_n\ge A\}$$

驗證$N$是停時：
$$\begin{gathered} \{w\in \Omega :N(w)\le n\}=\{w\in \Omega :N(w)>n{\}}^C \\ =\{w:X_0,?,X_n<A{\}}^C\in {\mathcal{F}}_n \end{gathered}$$

ii）定義
$$M=\sup \{n\ge 0:X_n\ge A\}$$

則$M$不是停時，
$$\{w:M(w)=n\}=\{w:X_n(w)\ge A,?,X_t<A,?t\ge n+1\}$$

顯然是不屬于${\mathcal{F}}_n$，因為${\mathcal{F}}_n$只由前$n$個隨機變量生成。

iii）如果$N$是常數，則$N$是停時。

iv）定義
$$N_B=\inf \{n\ge 0:X_n\in B\},B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$$

則$N_B$是停時：
$$\begin{gathered} \{w:N_B(w)=n\}=\{X_n\in B,X_0?,X_{n?1}\in B^C\} \\ =\{X_n\in B\}\cap \{X_0\in B^C\}?\cap \{X_{n?1}\in B^C\} \end{gathered}$$

每一個集合都屬于${\mathcal{F}}_n$，因此它們的交集屬于${\mathcal{F}}_n$。

定義
$$\begin{gathered} N_B^{(2)}=\inf \{n>N_B:X_n\in B\} \\ {N}_B^{(k)}=\inf \{n>N_B^{(k?1)}:X_n\in B\},k>2 \end{gathered}$$

則$N_B^{(k)}$是停時，$?k\ge 2$，以$k=2$為例：
$$\{N_B^{(2)}=n\}={\cup }_{m<n}\{X_n\in B,X_m\in B,X_j\in B^C,0\le j<n,j=m\}$$

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引理1 假設$T_1,T_2$是$\{{\mathcal{F}}_n\}$上的停時，則$\min (T_1,T_2)$也是停時。

證明
$$\begin{gathered} \{\min (T_1,T_2)\le n\}=\{\min (T_1,T_2)>n{\}}^C \\ =(\{T_1>n\}\cap \{T_2>n\}{)}^C=\{T_1>n{\}}^C\cup \{T_2>n{\}}^C\in \{{\mathcal{F}}_n\} \end{gathered}$$

證畢

Doob’s inequality (Upcrossing Inequality) 假設$\{X_n\}$是一個$\{{\mathcal{F}}_n\}$上的submartingale，$a<b$，$N_0=?1$,
$$\begin{gathered} N_1=\inf \{m>N_0:X_m\le a\} \\ {N}_2=\inf \{m>N_1:X_m\ge b\} \\ ? \\ {N}_{2k?1}=\inf \{m>N_{2k?2}:X_m\le a\} \\ {N}_{2k}=\inf \{m\ge N_{2k?1}:X_m\ge b\} \end{gathered}$$

定義
$$U_n=\sup \{k:N_{2k}\le n\}$$

則
$$(b?a)E{U}_n\le E[(X_n?a{)}^{+}]?E[(X_0?a{)}^{+}]$$

我們先認可這個不等式，它的作用是證明下面這個非常重要的鞅收斂定理。

鞅收斂定理 假設$\{X_n\}$是一個$\{{\mathcal{F}}_n\}$上的submartingale滿足${\sup }_{n}E{X}_n^{+}<\infty$，則$X_n\to X,a.s$，并且$E|X|<\infty$。

下一篇博文證明這個定理。

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例 Branching Process
假設${\xi }_{ij}$是互相獨立的取值為自然數的隨機變量，$P({\xi }_{ij}=k)=p_k,?k\ge 0$，記$m={\sum }_{k\ge 0}k{p}_k$，定義$$X_n=\sum _{i=1}^{X_{n?1}}{\xi }_{in}$$

在這個設定中，我們可以把${\xi }_{ij}$的下標$i$理解為第$i$戶，$j$理解為第$j$代，${\xi }_{ij}$表示第$i$戶、第$j$代有幾個娃，則$X_n$的含義可以是某家族第$n$代的總人口數，$m$表示平均每一代每一戶有幾個娃，可以證明
$$P(X_n<1,?n)=1$$

也就是如果某家族每一代每一戶不足一個娃，這個家族遲早會滅絕。下一篇博文證明了鞅收斂之后再完成這個例子的證明。

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總結

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