UA MATH523A 實分析3 積分理論例題 Fubini定理證明積分不等式

例 假設$f(x),x\in [0,1]$絕對連續，$f(0)=0$，證明
$${\int }_0^1\frac{|f(x){|}^3}{x^3}dx\le {\int }_0^1|f^{\prime }(x){|}^3|\ln x|dx$$

證 $f(x),x\in [0,1]$絕對連續，$f(0)=0$說明
$$f(x)={\int }_0^x{f}^{\prime }(t)dt$$

把這個式子代入左式就可以構造出一個重積分了。
$${\int }_0^1\frac{|f(x){|}^3}{x^3}dx={\int }_0^1{\left(\frac{1}{x}\left|{\int }_0^x{f}^{\prime }(t)dt\right|\right)}^{3}dx$$

但這還不是一個重積分，因此我們需要再做一些操作，讓它變成重積分。首先根據積分的絕對值不等式進行放松，然后做一個簡單的換元收了$1/x$，最后對三次函數用Jensen不等式

$$\begin{gathered} {\int }_0^1{\left(\frac{1}{x}\left|{\int }_0^x{f}^{\prime }(t)dt\right|\right)}^{3}dx\le {\int }_0^1{\left(\frac{1}{x}{\int }_0^1\left|f^{\prime }(t)\right|dt\right)}^{3}dx \\ ={\int }_0^1{\left({\int }_0^x\left|f^{\prime }(xt)\right|dt\right)}^{3}dx\le {\int }_0^1{\int }_0^1{\left|f^{\prime }(xt)\right|}^{3}dtdx \end{gathered}$$

現在我們把剛剛那個換元重反過來對$t$做一次，并用幾次Fubini-Tonelli定理
$$\begin{gathered} {\int }_0^1{\int }_0^1{\left|f^{\prime }(xt)\right|}^{3}dtdx={\int }_0^1{\int }_0^1{\left|f^{\prime }(xt)\right|}^{3}dxdt \\ ={\int }_0^1\frac{1}{t}{\int }_0^t|f^{\prime }(x){|}^{3}dxdt={\int }_0^1|f^{\prime }(x{)}^3|{\int }_x^1\frac{1}{t}dtdx \\ ={\int }_0^1|f^{\prime }(x){|}^3|\ln x|dx \end{gathered}$$

總結

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