初等數學O 集合論基礎 第一節 集合及其基本運算、de Moivre公式

寫在前面

初等數學這個系列是為高中升理工科的學生以及低年級新生準備的銜接內容，主要的目的是對進入大學前12年學過的數學知識（初等數學只涉及代數方面的）做一個系統性的抽象與公理化，使閱讀者能夠擺脫高中所習慣的比較具體的思維方式中拜托出來，逐步適應更加系統化、公理化的數學敘述模式，或者說，高等數學的敘述模式。當然，對競賽感興趣或者對更嚴謹的敘述方式感興趣的高中生也可以閱讀這個系列。

初等數學這個系列文章的邏輯順序是第O部分介紹集合論基礎、然后按照自然數、整數、有理數、實數、復數的順序介紹進入大學前12年學過的“數”，但這個系列會從公理化的角度對這些數系進行嚴謹地定義。介紹完數之后會介紹一些高中階段學過地基本結構，主要是多項式、數列、函數、不等式這四種。目標是希望在閱讀完這個系列的文章后，讀者可以更容易理解高等數學、線性代數、離散數學等理工科基礎數學。

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這一講我們簡單回顧一下集合及其基本運算。集合就是由一個或多個確定的元素所構成的整體，這些元素滿足確定性、互異性、無序性。下面列出這個系列文章將使用的元素與集合、集合與集合的關系、邏輯關系符號：

• $\in$：屬于
• $\in /$：不屬于
• $?$：包含于
• $$：前者是后者的真子集
• $=$：相等
• $?$：任意
• $?$：存在
• $?!$：存在唯一
• $?$：前者推出后者
• $?$：前者與后者等價

評注0.1 大寫字母表示集合，小寫字母表示元素

證明$A?B$的方法是說明$?a\in A$, $a\in B$ (子集的定義)

證明$A=B$的方法是說明$A?B$以及$B?A$

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接下來我們介紹一些集合的基本運算及其性質，這個系列的文章使用的交并補的符號如下：對$A,B$兩個集合

• $A\cup B$：$A$與$B$的并集
• $A\cap B$：$A$與$B$的交集
• $A^C$：$A$的補集

對一系列集合，如例1中的$A_1,A_2,?,A_n$

• ${?}_{i=1}^n{A}_i$：$A_1,A_2,?,A_n$的并集
• ${?}_{i=1}^n{A}_i$：$A_1,A_2,?,A_n$的交集

交并補是大家非常熟悉的，這里就不贅述了。我們來介紹一些高中階段見得不多的集合運算。

定義0.1 差集 記$A?B$表示$A$減去$B$的差集，它滿足
$$A?B=\{a:a\in A,a\in /B\}$$

這里的冒號后面寫集合中的元素應該滿足的條件。如果用$X$表示全集，顯然
$$A^C=X?A$$

定義0.2 無交并 記$A?B$表示$A$與$B$的無交并，它就是$A$與$B$的并集，只是$A$與$B$沒有交集。

定義0.3 對稱差 記$A\Delta B$表示$A$與$B$的對稱差，它滿足
$$A\Delta B=(A?B)?(B?A)=(A\cup B)?(A\cap B)$$

我們可以用下面的Venn圖展示一下這幾種集合運算：

紅色圓是$A$，藍色圓是$B$，重疊部分（淺紫色）就是$A\cap B$，有色區域就是$A\cup B$，只有紅色的部分就是$A?B$，只有藍色的部分就是$B?A$，只有一種顏色的部分就是$A\Delta B$。

例0.1 證明下面的命題
$$?i\in \{1,?,n\},A_i?B?\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{A}_i?B$$

這個命題的逆命題成立嗎？

證
我們先分析一下，這個命題的逆命題顯然是成立的，因為$?i\in \{1,?,n\}$, $A_i?{?}_{i=1}^n{A}_i$，所以${?}_{i=1}^n{A}_i?B??i\in \{1,?,n\},A_i?B$。接下來我們證明一下原命題，

$?a\in {?}_{i=1}^n{A}_i$，$?j\in \{1,?,n\}$，$a\in A_j$，因為$?i\in \{1,?,n\},A_i?B$，所以$a\in B$。這樣我們就證明了${?}_{i=1}^n{A}_i?B$。

總結 讀者需要了解的是數學教材撰寫的邏輯是從基本結構導出一些使用的結論，并例子說明這些結論如何解決問題；第一個階段相當于證明題，第二個階段相當于計算題。例0.1就是很典型的證明題，這個題目中的基本結構有兩個，包含于以及并集，要證明的結論也是一個集合是另一個集合的子集，所以這個證明評述0.1第一條的框架，說明${?}_{i=1}^n{A}_i$中的任一元素也在$B$中即可，這是一個經典的三段式演繹推理的框架，大前提是$?i\in \{1,?,n\},A_i?B$，即每一個$A_i$都是$B$的子集（，因此每一個$A_i$中的任一元素都屬于$B$），小前提是$?j\in \{1,?,n\}$，$a\in A_j$，也就是${?}_{i=1}^n{A}_i$中的元素一定在某一個$A_i$中，這就可以推出$a$屬于$B$。其中大前提是假設，小前提是并集這個基本結構的結果。

從這個例子總結出的關于演繹推理證明問題的思路如下：先找到結論涉及的基本結構，根據結論涉及的基本結構確定證明的框架，然后用條件涉及的基本結構及其相關結果完成這個證明框架。

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集合運算的簡單性質，我們不加證明地給出下面的性質

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

$A?B=A\cap B^C$

$(A\cap B{)}^C=A^C\cup B^C$

$(A\cup B{)}^C=A^C\cap B^C$

讀者可以嘗試畫出Venn圖自行驗證這五個等式。

例0.2 證明下面的等式
$$A?(B?C)=(A?B)\cup (A\cap C)$$

證
$$\begin{gathered} A?(B?C)=A?(B\cap C^C)=A\cap (B\cap C^C{)}^C \\ =A\cap (B^C\cup C)=(A\cap B^C)\cup (A\cap C)=(A?B)\cup (A\cap C) \end{gathered}$$

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接下來我們介紹一個非常有用的結論，de Moivre公式，它就是上面簡單性質4、5的推廣。

定理0.1 de Moivre公式(有限個集合交與并的補集)

假設$\{A_i{\}}_{i=1}^n=\{A_1,A_2,?,A_n\}$表示一系列有限個集合，它們交與并的補集滿足下面的性質：

$({?}_{i=1}^n{A}_i{)}^C={?}_{i=1}^n{A}_i^C$

$({?}_{i=1}^n{A}_i{)}^C={?}_{i=1}^n{A}_i^C$

證明
后續我們會介紹這個公式對無限個集合也成立，但現在我們先證明這個最簡單的情況，思路就是將$n$個集合的交或并通過換元化歸為兩個集合的交與并，然后用集合運算的簡單性質。

i）記$B_k={?}_{i=k}^n{A}_i,k\ge 2$,
$$B_k^C=(\underset{i=k}{\overset{n}{?}}{A}_i{)}^C=(A_k\cup B_{k+1}{)}^C=A_k^C\cap B_{k+1}^C$$

這樣我們就得到了$B_k$的遞推關系，下面我們重復使用這個遞推關系
$$\begin{gathered} (\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{A}_i{)}^C=(A_1\cup B_2{)}^C=A_1^C\cap B_2^C \\ =A_1^C\cap A_2^C\cap B_3^C=?=A_1^C\cap A_2^C\cap ?A_k^C=\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{A}_i^C \end{gathered}$$

ii）記$D_k={?}_{i=k}^n{A}_i,k\ge 2$
$$D_k^C=(\underset{i=k}{\overset{n}{?}}{A}_i{)}^C=(A_k\cap D_{k+1}{)}^C=A_k^C\cup D_{k+1}^C$$

重復使用這個遞推關系
$$\begin{gathered} (\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{A}_i{)}^C=(A_1\cap D_2{)}^C=A_1^C\cup D_2^C \\ =A_1^C\cup A_2^C\cup D_3^C=?=A_1^C\cup A_2^C\cup ?A_k^C=\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{A}_i^C \end{gathered}$$

證畢

這個公式是非常有用的，未來在組合學、分析、概率論等課程中大家會頻繁使用到它。

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定義0.4 集列 類比數列，稱一系列集合為集列，記為$\{A_i{\}}_{i=1}^n=\{A_1,A_2,?,A_n\},n\in \mathbb{N}$。

定義0.5 集列的單調性 與數列類似，我們也可以定義集列的單調性

• 集列遞增記為$A_n\uparrow$，表示$A_i?A_{i+1},1\le i\le n?1$
• 集列遞減記為$A_n\downarrow$，表示$A_i?A_{i+1},1\le i\le n?1$

例0.3 在實分析中，我們經常要基于一個遞增的集列構造一個不交的集列，假設$\{A_i{\}}_{i=1}^n$是一個遞增的集列，定義
$$B_1=A_1,B_k=A_k?A_{k?1},?k\ge 2$$

驗證$B_k\cap B_l=?,?k=l$以及${?}_{k=1}^n{B}_k={?}_{i=1}^n{A}_i$。

證明
i）不妨假設$k<l$，因為$A_n\uparrow$，$A_k?A_{l?1}$，
$$B_k=A_k?A_{k?1}?A_k?A_{l?1}$$

因此$B_k\cap B_l=?,?k=l$。

ii）直接計算
$$\begin{gathered} \underset{k=1}{\overset{n}{?}}{B}_k=A_1\cup \underset{k=2}{\overset{n}{?}}(A_k?A_{k?1})=A_1\cup (A_2?A_1)\cup ? \\ =A_2\cup (A_3?A_2)?=A_3\cup (A_4?A_3)?=A_n \end{gathered}$$

因為$A_n\uparrow$, $?i\le n$, $A_i?A_n$
$$\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{A}_i=A_n$$

所以
$$\underset{k=1}{\overset{n}{?}}{B}_k=\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{A}_i$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的初等数学O 集合论基础 第一节 集合及其基本运算、de Moivre公式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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