視覺與圖像系列 幾何光學I 近軸光學1 Fermat原理

• • 三個實驗定律
  • Fermat原理

我們首次接觸幾何光學是在初中的物理課上，它給我留下的印象就是各種畫圖，折射、反射、組合透鏡的光路圖。后來大一時學大學物理也學到了一點點幾何光學，但也只是把反射和折射的原理了解得更詳細了一點，范圍也都局限在幾何光學的三條實驗定律：直線傳播定律、反射定律與折射定律。這一講我們簡單回顧一下這三個定律，然后引出光傳播的Fermat原理。

三個實驗定律

直線傳播定律：光在均勻介質中沿直線傳播；
反射定律： 入射角等于出射角(光程最短)；

折射定律：$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$ (Snell定律), ${\theta }_1,{\theta }_2$為入射角和折射角，$n_1,n_2$分別是兩個中介質的折射率(光在真空中的速度除以光在介質中的速度)。

Fermat原理

Fermat原理 光從$A$到$B$點傳播路徑滿足
$$\delta {\int }_{A\to B}n(r)ds=0$$

$r=(x,y,z{)}^T$表示位移，$ds=d|r|$，$\delta$表示變分，$n(r)$表示位置$r$處的折射率。下面用Fermat原理推導上面三個實驗定律。

直線傳播定律
在均勻介質中，可以假設$n(r)=n$，則
$$\delta {\int }_{A\to B}n(r)ds=n\delta {\int }_{A\to B}ds=0,\delta {\int }_{A\to B}ds=0$$

在三維空間中，$A$到$B$的路徑可以用單參數向量值映射表示，$r(t):[a,b]\to {\mathbb{R}}^3$，因此路徑積分為
$${\int }_{A\to B}ds={\int }_a^b\sqrt{|r^{\prime }(t){|}^2}dt={\int }_a^b\sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2+(z^{\prime }{)}^2}dt$$

要讓這個積分的變分為0，我們可以使用Lagrange方程，可以得到
$$?\begin{array}{l}\frac{x^{\prime \prime }}{\sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2+(z^{\prime }{)}^2}}=0\\ \frac{y^{\prime \prime }}{\sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2+(z^{\prime }{)}^2}}=0\\ \frac{z^{\prime \prime }}{\sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2+(z^{\prime }{)}^2}}=0\end{array}$$

因此$x^{\prime \prime }=y^{\prime \prime }=z^{\prime \prime }=0$，所以$A$到$B$的路徑是直線。

反射定律
考慮平面區域${\mathbb{R}}^2$，折射率滿足
$$n(r)=\{\begin{array}{l}n,y\ge 0\\ +\infty ,y<0\end{array}$$

其中$+\infty$的折射率表示光不能再這個介質中傳播，界面為$y=0$，假設界面平整光滑。假設點$A$位于$(x_0,y_0)$，點$B$位于$(?x_0,y_0)$，假設入射角為${\theta }_i$，反射角為${\theta }_r$，因為光不能在$y<0$的區域傳播，根據直線傳播定律，從$A$到$B$的傳播路徑滿足
$$y_0(\tan {\theta }_i+\tan {\theta }_r)=2x_0$$

要使$A$到$B$的光程最短：
$$\begin{gathered} \underset{{\theta }_i,{\theta }_i}{\min }\frac{y_0}{\cos {\theta }_i}+\frac{y_0}{\cos {\theta }_r} \\ s.t.y_0(\tan {\theta }_i+\tan {\theta }_r)=2x_0 \end{gathered}$$

從這個最優化可以推出${\theta }_i={\theta }_r$。

折射定律
考慮平面區域${\mathbb{R}}^2$，折射率滿足
$$n(r)=\{\begin{array}{l}{n}_1,y\ge 0\\ n_2,y<0\end{array}$$

根據直線傳播定律，光線在$y\ge 0$與$y<0$這兩個區域內分別沿直線傳播。假設點$A$位于$(x_1,y_1)$，點$B$位于$(x_2,?y_2)$，其中$y_1>0$, $y_2>0$。假設入射角為${\theta }_1$，折射角為${\theta }_2$，則
$${\int }_{A\to B}n(r)ds=\frac{n_1{y}_1}{\cos {\theta }_1}+\frac{n_2{y}_2}{\cos {\theta }_2}$$

因此折射的傳播路徑也可以用最優化建模：
$$\begin{gathered} \underset{{\theta }_1,{\theta }_2}{\min }\frac{n_1{y}_1}{\cos {\theta }_1}+\frac{n_2{y}_2}{\cos {\theta }_2} \\ s.t.y_1\tan {\theta }_1+y_2\tan {\theta }_2=|x_2?x_1| \end{gathered}$$

求解這個最優化，可以得到折射定律。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的视觉与图像系列 几何光学I 近轴光学1 Fermat原理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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