矩阵分析与多元统计II 二次型与二次曲面2 双线性函数
矩陣分析與多元統計II 二次型與二次曲面2 雙線性函數
- 雙線性函數
- 雙線性函數的表示
- 滿秩雙線性函數
- 對稱與反對稱
- 對稱雙線性函數
- 反對稱雙線性函數
- 應用
- 偽歐氏空間與偽正交變換
- 辛空間與辛變換
- 對稱雙線性函數空間與反對稱雙線性函數空間
雙線性函數
假設VVV是數域FFF上的線性空間,映射f:V×V→Ff:V\times V \to Ff:V×V→F若滿足
則稱fff是VVV上的一個雙線性函數。
雙線性函數的表示
假設(e1,e2,?,en)(e_1,e_2,\cdots,e_n)(e1?,e2?,?,en?)是VVV的一組基,定義雙線性函數fff的度量矩陣為
G=[f(e1,e1)f(e1,e2)?f(e1,en)f(e2,e1)f(e2,e2)?f(e2,en)????f(en,e1)f(en,e2)?f(en,en)]G = \left[ \begin{matrix} f(e_1,e_1) & f(e_1,e_2) & \cdots & f(e_1,e_n) \\ f(e_2,e_1) & f(e_2,e_2) & \cdots & f(e_2,e_n) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ f(e_n,e_1) & f(e_n,e_2) & \cdots & f(e_n,e_n) \end{matrix} \right]G=?????f(e1?,e1?)f(e2?,e1?)?f(en?,e1?)?f(e1?,e2?)f(e2?,e2?)?f(en?,e2?)??????f(e1?,en?)f(e2?,en?)?f(en?,en?)??????
給定基下,度量矩陣與雙線性函數是一一對應的關系。與線性函數類似,假設α,β\alpha,\betaα,β在(e1,e2,?,en)(e_1,e_2,\cdots,e_n)(e1?,e2?,?,en?)下的坐標是x,yx,yx,y,則
f(a,b)=x′Gyf(a,b)=x'Gyf(a,b)=x′Gy
假設(η1,η2,?,ηn)(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)(η1?,η2?,?,ηn?)是VVV的另一組基,從(e1,e2,?,en)(e_1,e_2,\cdots,e_n)(e1?,e2?,?,en?)到(η1,η2,?,ηn)(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)(η1?,η2?,?,ηn?)的轉移矩陣是TTT,即
(η1,η2,?,ηn)=(e1,e2,?,en)T(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n) = (e_1,e_2,\cdots,e_n)T(η1?,η2?,?,ηn?)=(e1?,e2?,?,en?)T
則
G(f;η1,η2,?,ηn)=T′G(f;e1,e2,?,en)TG(f;\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)=T'G(f;e_1,e_2,\cdots,e_n)TG(f;η1?,η2?,?,ηn?)=T′G(f;e1?,e2?,?,en?)T
也就是說同一個雙線性函數在不同基下的度量矩陣是合同的。
滿秩雙線性函數
如果f(α,β)=0,?β∈V?α=0f(\alpha,\beta)=0,\forall \beta \in V \Rightarrow \alpha=0f(α,β)=0,?β∈V?α=0,則稱fff是滿秩的,下面是滿秩的等價性敘述:
我們稱定義了滿秩雙線性函數的線性空間為雙線性度量空間,需要注意的是雙線性度量空間不一定是度量空間,但滿秩雙線性函數的作用與度量非常類似,都是把兩個向量映射到一個數值,所以給它一個名字叫雙線性度量。
對稱與反對稱
假設f(α,β)=f(β,α)f(\alpha,\beta)=f(\beta,\alpha)f(α,β)=f(β,α),則稱fff為對稱雙線性函數;假設f(α,β)=?f(β,α)f(\alpha,\beta)=-f(\beta,\alpha)f(α,β)=?f(β,α),則稱fff為反對稱雙線性函數。
對稱雙線性函數
關于對稱雙線性函數,我們有一個非常有趣的例子。歐氏空間中的內積就是一個滿秩的對稱雙線性函數,根據Schmidt正交化定理,在任何標準正交基下,內積的度量矩陣是單位矩陣。這給我們提供了一個有趣的視角來理解對稱雙線性函數,我們可以把對稱雙線性函數理解為歐氏內積的某種推廣,稱定義了滿秩對稱雙線性函數的實線性空間為偽歐氏空間,比如用來描述四維時空的Minkowski空間在Minkowski內積下成為偽歐氏空間。另外,我們知道實對稱矩陣可以對角化,因此存在一組基使得對稱雙線性函數度量矩陣成為對角陣。
基于一個一般的雙線性函數ggg,我們可以定義對稱雙線性函數:
f(α,β)=g(α,β)+g(β,α)2f(\alpha,\beta) = \frac{g(\alpha,\beta)+g(\beta,\alpha)}{2}f(α,β)=2g(α,β)+g(β,α)?
關于對稱雙線性函數,我們還想關注它與二次齊次函數的關系。對于f(α,β)f(\alpha,\beta)f(α,β),當α=β\alpha=\betaα=β時,稱f(α,α)f(\alpha,\alpha)f(α,α)是f(α,β)f(\alpha,\beta)f(α,β)對應的二次齊次函數。二次齊次函數與雙線性函數是一一對應關系:
f(α,β)=f(α+β,α+β)?f(α,α)?f(β,β)2f(\alpha,\beta)=\frac{f(\alpha+\beta,\alpha+\beta)-f(\alpha,\alpha)-f(\beta,\beta)}{2}f(α,β)=2f(α+β,α+β)?f(α,α)?f(β,β)?
反對稱雙線性函數
反對稱雙線性函數在給定基時可以用反對稱矩陣表示,我們知道反對稱矩陣是可以對角化為:
diag(S2,?,S2,0,?,0),S2=[01?10]diag(S_2,\cdots,S_2,0,\cdots,0),S_2=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix} \right]diag(S2?,?,S2?,0,?,0),S2?=[0?1?10?]
的形式的,因此存在一組基使得反對稱雙線性函數的度量矩陣滿足這個形式。稱定義了滿秩反對稱雙線性函數的實線性空間為辛空間。
應用
偽歐氏空間與偽正交變換
在nnn維偽歐氏空間VVV中,滿秩對稱雙線性函數在基(e1,e2,?,en)(e_1,e_2,\cdots,e_n)(e1?,e2?,?,en?)下的度量矩陣滿足G=diag(Ip,?In?p),0≤p≤nG=diag(I_p,-I_{n-p}),0 \le p\le nG=diag(Ip?,?In?p?),0≤p≤n
就稱(e1,e2,?,en)(e_1,e_2,\cdots,e_n)(e1?,e2?,?,en?)為標準正交基。如果A:V→V\mathcal{A}:V \to VA:V→V滿足
f(Aα,Aβ)=f(α,β)f(\mathcal{A}\alpha,\mathcal{A}\beta)=f(\alpha,\beta)f(Aα,Aβ)=f(α,β)
就稱A\mathcal{A}A是偽正交變換,假設AAA是A\mathcal{A}A的矩陣表示,稱AAA是偽正交矩陣。關于偽正交變換有幾個性質:
我們可以從偽正交矩陣出發,假設α,β\alpha,\betaα,β在標準正交基(e1,e2,?,en)(e_1,e_2,\cdots,e_n)(e1?,e2?,?,en?)下的坐標為x,yx,yx,y,則
f(α,β)=x′Gyf(\alpha,\beta) =x'Gyf(α,β)=x′Gy
對α,β\alpha,\betaα,β做偽正交變換后,它們的坐標變為Ax,AyAx,AyAx,Ay,因此
f(Aα,Aβ)=x′A′GAyf(\mathcal{A}\alpha,\mathcal{A}\beta) =x'A'GAyf(Aα,Aβ)=x′A′GAy
根據定義
f(Aα,Aβ)=f(α,β)?A′GA=Gf(\mathcal{A}\alpha,\mathcal{A}\beta) = f(\alpha,\beta) \Rightarrow A'GA=Gf(Aα,Aβ)=f(α,β)?A′GA=G
基于這個結果,我們可以計算行列式
∣A′GA∣=(?1)n?p=(?1)n?p∣A∣2?∣A∣=1or?1|A'GA|=(-1)^{n-p}=(-1)^{n-p}|A|^2 \Rightarrow |A|=1\ or\ -1∣A′GA∣=(?1)n?p=(?1)n?p∣A∣2?∣A∣=1?or??1
另外,根據A′GA=GA'GA=GA′GA=G,我們知道AAA時滿秩的,因此偽正交變換是滿秩的變換,用A?1\mathcal{A}^{-1}A?1表示它的逆變換,則根據定義
f(A?1Aα,A?1Aβ)=f(α,β)=f(Aα,Aβ)f(\mathcal{A}^{-1}\mathcal{A}\alpha,\mathcal{A}^{-1}\mathcal{A}\beta)=f(\alpha,\beta) = f(\mathcal{A}\alpha,\mathcal{A}\beta)f(A?1Aα,A?1Aβ)=f(α,β)=f(Aα,Aβ)
因此偽正交變換的逆變換也是偽正交變換。假設B\mathcal{B}B是另一個偽正交變換,則根據定義
f(BAα,BAβ)=f(Aα,Aβ)=f(α,β)f(\mathcal{B}\mathcal{A}\alpha,\mathcal{B}\mathcal{A}\beta)= f(\mathcal{A}\alpha,\mathcal{A}\beta)=f(\alpha,\beta) f(BAα,BAβ)=f(Aα,Aβ)=f(α,β)
因此偽正交變換的積BA\mathcal{B}\mathcal{A}BA也是正交變換。
辛空間與辛變換
VVV是2m2m2m維的辛空間,fff是VVV上的滿秩反對稱雙線性函數,稱(e1,e2,?,e2m)(e_1,e_2,\cdots,e_{2m})(e1?,e2?,?,e2m?)為辛基,如果
G=[0Im?Im0]G = \left[ \begin{matrix} 0 & I_m \\ -I_m & 0 \end{matrix} \right]G=[0?Im??Im?0?]
如果A:V→V\mathcal{A}:V \to VA:V→V滿足
f(Aα,Aβ)=f(α,β)f(\mathcal{A}\alpha,\mathcal{A}\beta)=f(\alpha,\beta)f(Aα,Aβ)=f(α,β)
就稱A\mathcal{A}A是辛變換。假設AAA是A\mathcal{A}A的矩陣表示,稱AAA是辛矩陣。辛變換有下面幾個性質,這幾個性質的推導與偽正交變換基本一致:
對稱雙線性函數空間與反對稱雙線性函數空間
VVV是數域FFF上的線性空間,對稱實雙線性函數空間與反對稱實雙線性函數空間有幾個結論:
上一講介紹過線性空間的對偶空間與線性空間維數相同,因此
dim(V×V)?=dim(V×V)=dim(V)×dim(V)=n2dim(V \times V)^* = dim(V \times V)=dim(V) \times dim(V)=n^2dim(V×V)?=dim(V×V)=dim(V)×dim(V)=n2
下面考慮Sym(V×V)?Sym(V \times V)^*Sym(V×V)?與Alt(V×V)?Alt(V \times V)^*Alt(V×V)?的維數。結論非常直觀,因為n×nn \times nn×n的對稱矩陣有n(n+1)/2n(n+1)/2n(n+1)/2個自由度,反對稱矩陣有n(n?1)/2n(n-1)/2n(n?1)/2個自由度。因此Sym(V×V)?Sym(V \times V)^*Sym(V×V)?與Alt(V×V)?Alt(V \times V)^*Alt(V×V)?的維數分別為n(n+1)/2n(n+1)/2n(n+1)/2, n(n?1)/2n(n-1)/2n(n?1)/2。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的矩阵分析与多元统计II 二次型与二次曲面2 双线性函数的全部內容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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