UA MATH563 概率論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2 隨機(jī)變量1 隨機(jī)變量與分布函數(shù)

• 判斷一個(gè)實(shí)變函數(shù)是隨機(jī)變量
• 分布函數(shù)的性質(zhì)
• • Lebesgue-Stieltjes測度下的分布函數(shù)

現(xiàn)在我們考慮狀態(tài)空間$(\Omega ,\mathcal{F})$，假設(shè)$\xi$是定義在狀態(tài)空間上的實(shí)函數(shù)，即$\xi :(\Omega ,\mathcal{F})\to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$。

隨機(jī)變量 或稱為$\mathcal{F}$可測函數(shù)，如果$?B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$, ${\xi }^{?1}(B)\in \mathcal{F}$。如果$\mathcal{F}$是Borel代數(shù)，也稱$\xi$為Borel可測函數(shù)。如果$\Omega$有限，稱$\xi$為簡單隨機(jī)變量；如果$\Omega$可列，稱$\xi$為離散型隨機(jī)變量。

評注 基礎(chǔ)1中我們花了很多精力構(gòu)造$\sigma$-代數(shù)，是因?yàn)樗锌蓽y的事件，因此隨機(jī)變量的定義保證我們能夠根據(jù)概率測度定義它的分布。

事件的概率 假設(shè)狀態(tài)空間是一個(gè)概率空間，概率為$P$，則事件$\xi \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$的概率就是
$$P_{\xi }(B)=P({\xi }^{?1}(B))$$

分布函數(shù) 考慮$B=(\infty ,x]$，記此時(shí)的事件概率為分布函數(shù)
$$F_{\xi }(x)=P({\xi }^{?1}((?\infty ,x]))$$

如果分布函數(shù)連續(xù)，稱$\xi$為連續(xù)型隨機(jī)變量；如果分布函數(shù)可導(dǎo)，即$?f_{\xi }(x)=F_{\xi }^{\prime }(x)$，稱$f_{\xi }$為概率密度。

判斷一個(gè)實(shí)變函數(shù)是隨機(jī)變量

要判斷一個(gè)實(shí)變函數(shù)是不是隨機(jī)變量，根據(jù)定義肯定是做不到的，我們不可能檢查$\mathcal{B}(\mathbb{R})$中的每一個(gè)集合，下面這個(gè)引理可以減少需要檢查的集合數(shù)目：

引理 假設(shè)$\mathcal{C}$是一個(gè)集族，$\sigma (\mathcal{C})=\mathcal{B}(\mathbb{R})$，如果$?C\in \mathcal{C},{\xi }^{?1}(C)\in \mathcal{F}$，則$\xi$是$\mathcal{F}$-可測的。

這是實(shí)分析中的結(jié)論，我們直接用就不再證明了。根據(jù)這個(gè)引理，我們只需要檢查一個(gè)能生成Borel代數(shù)的集族即可。構(gòu)造$\mathcal{C}=\{(\infty ,x]:x\in \mathcal{R}\}$，則$\sigma (\mathcal{C})=\mathcal{B}(\mathbb{R})$，因此只要${\xi }^{?1}((?\infty ,x])\in \mathcal{F}$，$\xi$就是隨機(jī)變量。實(shí)際上${\xi }^{?1}((?\infty ,x))\in \mathcal{F}$也可以。

除了按定義判斷隨機(jī)變量的方法之外，還可以基于已知的隨機(jī)變量進(jìn)行判斷：

引理 假設(shè)$\psi$是Borel函數(shù)，$\xi$是隨機(jī)變量，則$\eta =\psi (\xi )$是隨機(jī)變量。
證明 根據(jù)定義進(jìn)行判斷，$?B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$，
$${\eta }^{?1}(B)=[\psi (\xi ){]}^{?1}(B)={\xi }^{?1}({\psi }^{?1}(B))\in \mathcal{F}$$

分布函數(shù)的性質(zhì)

基于上文分布函數(shù)的定義：
$$F_{\xi }(x)=P({\xi }^{?1}((?\infty ,x]))$$

分布函數(shù)具有下面的性質(zhì)：

$F_{\xi }(x)$非減；

$F_{\xi }(?\infty )=0,F_{\xi }(+\infty )=1$

$F_{\xi }(x)$右連續(xù)；

證明
性質(zhì)1非常簡單，基于概率的單調(diào)性即可以得出，如果$x\le y$，有$(?\infty ,x]?(?\infty ,y]?{\xi }^{?1}((?\infty ,x])?{\xi }^{?1}((?\infty ,y])$，則$P({\xi }^{?1}(?\infty ,x])\le P({\xi }^{?1}(?\infty ,y])$，即$F(x)\le F(y)$；

性質(zhì)2也非常簡單，取$a_n\downarrow ?\infty$，則$F_{\xi }(?\infty )={\lim }_n{F}_{\xi }(a_n)={\lim }_{n}P({\xi }^{?1}(?\infty ,a_n])=P({\xi }^{?1}({\lim }_n(?\infty ,a_n]))=0$；

性質(zhì)3也比較簡單，取$b_n\uparrow x$，${\lim }_n{F}_{\xi }(b_n)={\lim }_{n}P({\xi }^{?1}(?\infty ,b_n])=P({\xi }^{?1}({?}_n(?\infty ,b_n]))=P({\xi }^{?1}(?\infty ,x])=F_{\xi }(x)$

Lebesgue-Stieltjes測度下的分布函數(shù)

概率空間4中討論了Lebesgue-Stieltjes測度，假設(shè)函數(shù)$F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$滿足

$F(x)$非減；

$F(?\infty )=0,F(+\infty )=1$；

$?x\in \mathbb{R}$，$F$在$x$處右連續(xù)且存在左極限；

對于區(qū)間$(a,b]$，定義測量區(qū)間長度的函數(shù)：
$$\lambda ((a,b])=F(b)?F(a)$$

由此可以在可測空間$(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$上建立外測度，用$E$表示前開后閉區(qū)間：
$${\mu }^{?}(A)=\inf \{\sum _{n=1}^{\infty }\lambda (E_n):A?\underset{n=1}{\overset{\infty }{?}}{E}_n\}$$

基于這個(gè)外測度導(dǎo)出的L-S測度通常來作為$(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$上的概率測度，那么基于這個(gè)概率測度定義的分布函數(shù)與L-S定義中的分布函數(shù)會(huì)有什么關(guān)系嗎？

考慮概率空間$(\mathbb{R},H(R^{?}),{\mu }^{?})$，假設(shè)$\xi :(\mathbb{R},H(R^{?}),{\mu }^{?})\to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$，定義$\xi$的分布函數(shù)為$F_{\xi }(x)={\mu }^{?}({\xi }^{?1}((?\infty ,x]))$。根據(jù)L-S測度的定義$?E_{\sigma },\sigma \in I$, $E_{\sigma }=(a_{\alpha },b_{\sigma }]$
$$F_{\xi }(x)={\mu }^{?}(\underset{\sigma \in I}{?}{E}_{\sigma })=\sum _{\sigma \in I}[F(b_{\sigma })?F(a_{\sigma })]$$

其中
$${\xi }^{?1}((?\infty ,x])?\underset{\sigma \in I}{?}{E}_{\sigma }$$

由此可以看出，$F_{\xi }$主要是由L-S測度的分布函數(shù)與$\xi$的構(gòu)造決定的。

《新程序員》：云原生和全面數(shù)字化實(shí)踐50位技術(shù)專家共同創(chuàng)作，文字、視頻、音頻交互閱讀

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH563 概率论的数学基础2 随机变量1 随机变量与分布函数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。