UA MATH563 概率論的數(shù)學基礎1 概率空間2 可列狀態(tài)空間

• 有限狀態(tài)空間與事件系
• 無限可列狀態(tài)空間與事件$\sigma$-代數(shù)

對于概率空間$(\Omega ,\mathcal{F},P)$，$\Omega$是非空集合，表示狀態(tài)空間；$\mathcal{F}$是事件空間，也是狀態(tài)空間的一個$\sigma$-代數(shù)；$P$是概率測度。上一講結尾提到了$\mathcal{F}$應該是可以被狀態(tài)空間的某些分割覆蓋的集合組成的$\sigma$-代數(shù)，但這個結論只是對上一講例子的一個很粗糙的總結，這一講將更嚴謹?shù)赜懻撨@個觀點。

有限狀態(tài)空間與事件系

假設$\Omega =\{w_1,?,w_n\}$，也就是狀態(tài)空間有限，定義事件代數(shù)（事件系）$\mathcal{A}$滿足：

$\Omega \in \mathcal{A}$

$?A,B\in \mathcal{A},A\cap B,A\cup B,A?B\in \mathcal{A}$

需要注意的是盡管對于有限狀態(tài)空間的情形，事件代數(shù)有很多種構造的方法，比如
$$\begin{gathered} \mathcal{A}=\{?,\Omega \}（平凡代數(shù)） \\ \mathcal{A}=\{?,A,A^C,\Omega \},A?\Omega （事件A生成的代數(shù)） \\ \mathcal{A}=\{A:A?\Omega \}（狀態(tài)空間的冪集） \end{gathered}$$

但是對于實際應用而言，我們希望構造的事件代數(shù)中的事件都可以計算出概率、并且事件代數(shù)包含的事件越多越好，這樣才能保證概率模型能夠適應更多的應用場景。

為了表示事件概率的可計算性與事件代數(shù)包含的事件數(shù)目，我們可以引入一個工具：概率空間的分割以及由分割生成的$\sigma$代數(shù)。稱集族
$$\mathcal{D}=\{D_1,D_2,?\}$$

是狀態(tài)空間的分割，如果
$$\Omega =\underset{i=1}{\overset{\infty }{?}}{D}_i$$

定義$\sigma (\mathcal{D})$是分割$\mathcal{D}$生成的代數(shù)，如果$\sigma (\mathcal{D})$僅由$\mathcal{D}$以及$\mathcal{D}$中任意兩個集合的并、交、差構成，$\sigma (\mathcal{D})$也叫包含$\mathcal{D}$的最小代數(shù)。

現(xiàn)在考慮如何應用這兩個概念。如果定義分割為$\mathcal{D}=\{?,\Omega \}$，基于這個分割生成的代數(shù)就是平凡代數(shù)；如果定義分割為$\mathcal{D}=\{A,A^C\}$，基于這個分割生成的代數(shù)就是事件$A$生成的代數(shù)；如果定義分割為$\mathcal{D}=\{\{w_1\},?,\{w_n\}\}$，基于這個分割生成的代數(shù)就是$\Omega$的冪集。

根據(jù)這個觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)對事件代數(shù)的比較可以簡化為對分割的比較。假設有兩個分割${\mathcal{D}}_1$與${\mathcal{D}}_2$，如果$\sigma ({\mathcal{D}}_1)?\sigma ({\mathcal{D}}_2)$，則稱${\mathcal{D}}_2$更細，記作${\mathcal{D}}_1<<{\mathcal{D}}_2$。對于有限狀態(tài)空間，因為$\mathcal{D}=\{\{w_1\},?,\{w_n\}\}$中每個集合都是可計算概率的，并且$\mathcal{D}=\{\{w_1\},?,\{w_n\}\}$是最細的分割，因此對于有限狀態(tài)空間，通常我們會選擇$\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega )$作為事件空間，$\mathcal{P}(\Omega )$表示$\Omega$的冪集。

無限可列狀態(tài)空間與事件$\sigma$-代數(shù)

我們可以直接對有限狀態(tài)空間的結論進行推廣，假設$|\Omega |=\infty$，我們同樣可以構造一個分割
$$\mathcal{D}=\{D_1,D_2,?\}$$

滿足
$$\Omega =\underset{i=1}{\overset{\infty }{?}}{D}_i$$

作為對上一講例子的抽象，我們假設$\Omega$是可列的，那么對于$D_i$具有可計算概率的要求其實就是$?{?}_0>0,P(D_i)>{?}_0$。記$\sigma (\mathcal{D})$是分割$\mathcal{D}$生成的$\sigma$-代數(shù)（因為概率測度的$\sigma$-可加性保證$P(\Omega )=1$成立，所以狀態(tài)空間是無限集時事件空間必須是$\sigma$-代數(shù)），則概率空間就是$(\Omega ,\sigma (\mathcal{D}),P)$。需要注意的是可計算的分割并不唯一，比如在上一講的例子中，
$$A_k=\{w:firstHoccursafterktoss\}$$

是一種分割，我們也可以用
$$A_{r,k}=\{w:therthHoccursafterktoss\}$$

作為一個分割，顯然
$$\Omega =\underset{k=1}{\overset{\infty }{?}}{A}_k=\underset{k=1}{\overset{\infty }{?}}\underset{r=1}{\overset{\infty }{?}}{A}_{r,k}$$

也就是說分割$\{A_{r,k}\}$更細。對應到實踐中，概率模型$(\Omega ,\sigma (\{A_k\}),P)$對應的是幾何分布$Geo(1/2)$；概率模型$(\Omega ,\sigma (\{A_{r,k}\}),P)$對應的是負二項分布$NegBin(r,1/2)$，當$r=1$是$NegBin(r,1/2)$就是$Geo(1/2)$，因此基于更細的分割生成的事件空間總是會得到更具有一般性的概率模型。

總結

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