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UA MATH563 概率论的数学基础I 概率空间1 基本概念

發(fā)布時(shí)間：2025/4/14 编程问答 27 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 UA MATH563 概率论的数学基础I 概率空间1 基本概念小編覺(jué)得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

UA MATH563 概率論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)I 概率空間1 基本概念

Kolmogorov公理化體系
概率空間的直觀理解

Kolmogorov公理化體系

一個(gè)概率模型可以用概率空間來(lái)描述，也就是 $(Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},P)$ ，其中 $Ω\Omega$ 是樣本點(diǎn) $w$ 的集合； $F\mathcal{F}$ 表示所有可能的事件，是 $Ω\Omega$ 的一個(gè) $σ\sigma$ -代數(shù)； $P$ 是概率測(cè)度（ $P(Ω)=1P(\Omega)=1$ ， $σ\sigma$ -可加測(cè)度）。

第I部分主要介紹Kolmogorov公理化體系的內(nèi)容，包括對(duì)概率空間的直觀理解、對(duì)事件的理解、對(duì)概率測(cè)度的理解，以及建立概率模型的方法。

概率空間的直觀理解

祖師爺Kolmogorov引入了概率與概率空間的公理化定義，用 $P$ 表示概率測(cè)度， $Ω\Omega$ 表示樣本空間（狀態(tài)空間）， $F\mathcal{F}$ 表示狀態(tài)空間的 $σ\sigma$ -代數(shù)（事件空間），那么概率空間就是 $(Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},P)$ 。

隨機(jī)試驗(yàn)提供了一種直觀理解概率空間的思路，比如toss a coin的試驗(yàn)，狀態(tài)空間為 $Ω={H,T}\Omega = \{H,T\}$ ；toss n coins，狀態(tài)空間為 $Ωn={w=(w1,?,wn):wi=HorT}\Omega_n = \{w=(w_1,\cdots,w_n):w_i = H\ or \ T \}$ ，狀態(tài)空間也就是一次試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合。 $F\mathcal{F}$ 表示toss coin的所有可能的事件（ $Ω\Omega$ 的所有子集，也就是在一個(gè)事件中，有限種結(jié)果同時(shí)發(fā)生、另一些結(jié)果不發(fā)生），比如對(duì)于toss a coin， $F={?,{H},{T},{H,T}}\mathcal{F} = \{\phi,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}$ ，分別表示既不是正面也不是反面、正面、反面、既是正面也是反面這四個(gè)事件，顯然第一個(gè)和第四個(gè)事件概率為0。 $F\mathcal{F}$ 中的事件的概率測(cè)度可以基于 $P (H) = P (T) = 1 / 2$ 進(jìn)行計(jì)算。這個(gè)例子也足以說(shuō)明概率公理化定義的實(shí)踐就是把概率空間的三個(gè)要素準(zhǔn)確定義出來(lái)。

這個(gè)例子非常容易推廣到 $n$ 取無(wú)窮的情況，這時(shí)狀態(tài)空間可以記為
$Ω∞={w=(w1,?,wn,?,∞):wi=HorT}\Omega_{\infty} = \{w=(w_1,\cdots,w_n,\cdots,\infty):w_i = H\ or \ T \}$

這時(shí)單次試驗(yàn)的一種可能的結(jié)果就變成了一個(gè)infinite Boolean vector，那要如何定義概率測(cè)度呢？（顯然 $P (w) = 0$ ，pointwise的定義不可行）

一個(gè)可行的辦法是考慮狀態(tài)空間一些特殊的子集，定義
$A_k = \{w: first\ H\ occurs\ after\ k\ toss\}$

那么 $Ω∞=?k=1∞Ak\Omega_{\infty} = \bigsqcup_{k=1}^{\infty} A_k$ ，并且
$P(Ak)=12kP(A_k) = \frac{1}{2^k}$

也就是說(shuō)我們只能構(gòu)造狀態(tài)空間的一種分割，以及每個(gè)分割的概率；這種分割比pointwise probability in state space更粗糙，也就意味著不是所有 $F\mathcal{F}$ 中的事件都一定可以基于分割的概率被計(jì)算出來(lái)，或者說(shuō)，只有能夠用這個(gè)分割覆蓋的那些事件才有概率。

我們可以嘗試把這個(gè)說(shuō)法做抽象化處理， $F\mathcal{F}$ 包含所有能被 $Ω\Omega$ 的某個(gè)分割覆蓋的集合，下面證明一個(gè)結(jié)論，這樣的 $F\mathcal{F}$ 是一個(gè) $σ\sigma$ -代數(shù)。
證明
第一步，考慮空集，假設(shè) $?Ak,k=1,?,∞\exists A_k,k=1,\cdots,\infty$ ， $Ω=?kAk\Omega = \bigsqcup_k A_k$ ，也就是 $A_k$ 是 $Ω\Omega$ 的一組分割。顯然
$Ω??kAk????kAk?Ω=?kAk\Omega \supset \bigsqcup_k A_k \Rightarrow \phi \subset \bigcap_k A_k \subset \Omega = \bigsqcup_k A_k$

所以 $?∈F\phi \in \mathcal{F}$ ;

第二步，考慮交集，假設(shè) $C,D∈FC,D\in \mathcal{F}$ ，則 $?Ak,Bk,k=1,?,∞\exists A_k,B_k,k=1,\cdots,\infty$ ， $Ω=?kAk=?kBk,Ak≠Bk\Omega = \bigsqcup_k A_k = \bigsqcup_k B_k,A_k \ne B_k$ ，且 $\subset \bigsqcup_k A_k,D \subset \bigsqcup_k B_k$ ，
$\cap D \subset (\bigsqcup_i A_i ) \cap (\bigsqcup_j B_j ) = \bigsqcup_i\bigsqcup_j A_i \cap B_j$

顯然 $Ai∩Bj,i,j=1,?,∞A_i \cap B_j,i,j = 1,\cdots,\infty$ 也是 $Ω\Omega$ 的分割
$?i?j=Ω\bigsqcup_i\bigsqcup_j = \Omega$

因此 $C∩D∈FC\cap D \in \mathcal{F}$

第三步，考慮差集，能覆蓋 $C$ 的分割一定可以覆蓋 $\setminus D$ ，所以這個(gè)結(jié)果比較naive

第四步，考慮infinite union，假設(shè) $Cα∈F,α∈AC_{\alpha} \in \mathcal{F},\alpha \in A$ ，則 $?Aαk,k=1,?,∞,α∈A\exists A_{\alpha k},k=1,\cdots,\infty,\alpha \in A$ ， $Ω=?kAαk,?α∈A\Omega = \bigsqcup_k A_{\alpha k},\forall \alpha \in A$ ，且 $Cα??kAαkC_{\alpha} \subset \bigsqcup_k A_{\alpha k}$ ，
$?α∈ACα??α∈A?kAαk=?k?α∈AAαk\bigcup_{\alpha \in A} C_{\alpha } \subset \bigcup_{\alpha \in A} \bigsqcup_k A_{\alpha k} = \bigsqcup_k \bigcup_{\alpha \in A} A_{\alpha k}$

注意到 $?α∈AAαk,k=1,?,∞\bigcup_{\alpha \in A} A_{\alpha k},k=1,\cdots,\infty$ 也是 $Ω\Omega$ 的分割，因此
$?α∈ACα∈F\bigcup_{\alpha \in A} C_{\alpha } \in \mathcal{F}$

評(píng)注 從理論上我們可以從分割的角度驗(yàn)證事件空間本質(zhì)應(yīng)該是狀態(tài)空間的一個(gè) $σ\sigma$ -代數(shù)，但在實(shí)踐中會(huì)遇到的問(wèn)題則是能用來(lái)解決問(wèn)題的 $σ\sigma$ -代數(shù)應(yīng)該怎么構(gòu)造。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH563 概率论的数学基础I 概率空间1 基本概念的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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