UA MATH566 用Basu定理證明統計量不完備

Basu定理：有界完備最小充分統計量與輔助統計量獨立。我們先簡單證明一下這個定理，記有界完備最小充分統計量為$T(X)$，輔助統計量為$A(X)$，則要證明二者獨立，只需要
$$P_X\{A(X)\in B|T(X)=t\}=P_X\{A(X)\in B\}，B是Borel集$$
其中
$$\begin{gathered} P_X\{A(X)\in B|T(X)=t\}=P_X\{X\in A^{?1}(B)|T(X)=t\} \\ {P}_X\{A(X)\in B\}=P_X\{X\in A^{?1}(B)\} \end{gathered}$$
記$P_X\{X\in A^{?1}(B)\}=p$，因為$P_X\{X\in A^{?1}(B)|T(X)=t\}=E_X[I_{A^{?1}(B)}(X)|T(X)=t]$，相當于需要證明
$$E_X[I_{A^{?1}(B)}(X)|T(X)=t]=p$$
定義$h(t)=E_X[I_{A^{?1}(B)}(X)|T(X)=t]?p$，計算
$$E[h(T)]=E_T{E}_X[I_{A^{?1}(B)}(X)|T(X)=t]?p=E_X[I_{A^{?1}(B)}(X)]?p$$
因為$E_X[I_{A^{?1}(B)}(X)]=P_X\{X\in A^{?1}(B)\}=p$，因此$E[h(T)]=0$，根據$T$的完備性，$h(t)=0a.s.$，定理得證。

根據Basu定理，要證明某個最小充分統計量不完備，只需要找到它與某個輔助統計量不獨立的反例即可。

輔助統計量：分布與參數無關的統計量，位置參數族樣本的差就是輔助統計量，尺度參數族樣本的商就是輔助統計量。

例1 $N({\mu }_0,{\sigma }^2)$為總體，則${\sum }_{i=1}^n(X_i?{\mu }_0{)}^2$是${\sigma }^2$的最小充分統計量，$\frac{X_1?{\mu }_0}{X_2?{\mu }_0}$是一個輔助統計量，顯然這個輔助統計量與最小充分統計量并不獨立，因此${\sum }_{i=1}^n(X_i?{\mu }_0{)}^2$不是完備統計量，也就不是${\sigma }^2$唯一的UMVUE，比如${\sum }_{i=1}^n{X}_i^2?n{\mu }_0^2$就是另一個UMVUE。

例2 $U(\theta ?1/2,\theta +1/2)$為總體，$(X_{(1)},X_{(n)})$是最小充分統計量，但$X_{(n)}?X_{(1)}$是輔助統計量，因此$(X_{(1)},X_{(n)})$不完備。

總結

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