UA MATH571B 試驗設計 QE練習題 不使用代碼分析試驗結(jié)果I

• 2014年5月第一題
• 2015年5月第一題
• 2016年5月第二題
• 2017年1月第一題

不使用代碼分析試驗結(jié)果考察的是對試驗設計基本概念與統(tǒng)計方法的掌握程度，但不使用代碼難以分析復雜的contract、multiple comparison以及做模型診斷等工作，所以這類題目考察的重點是基本概念和ANOVA table相關計算。

2014年5月第一題

這個題目的背景是要比較四個計算機系統(tǒng)打印圖片的效率，選擇了四個計算機系統(tǒng)（A、B、C、D），四個素描的數(shù)據(jù)集（I、II、III、IV）和四種操作（1、2、3、4），用Latin Square Design進行試驗，比較系統(tǒng)、數(shù)據(jù)集和操作對打印效率的影響，response是每小時打印的圖片數(shù)。下面是一些簡單的結(jié)果。

Part a
題干第一句話有提示，要研究的是four computer systems，所以treatment variable是computer system，那么剩下兩個就是block variable，set of rough sketch and operator

Part b
因為是兩個blocking factor，再加上題干的試驗設計的示意圖，可以看出這是一個Latin Square Design

Part c
分析一下那部分的ANOVA table。
$$\begin{gathered} s{s}_1=2.16+0.24+1.52+0.90=4.82 \\ d{f}_1=d{f}_2=d{f}_3=4?1=3,d{f}_5=4^2?1=15,d{f}_4=15?3?3?3=6 \end{gathered}$$

Part d
The largest difference between any two levels of systems is 2.6-1.8=0.8 and the
MSE=0.90/6=0.15. So there is a very small probability that all these means can be
covered by the same t distribution with scale factor of 0.194(=sqrt(MSE/4)).

這個是答案，簡單分析一下這個題目。不計算p值，判斷system的效應是否顯著，通常我們?nèi)菀紫氲降挠袃煞N方法。第一種是計算F統(tǒng)計量，為$\frac{1.52/3}{0.90/6}=3.378$，這是一個不大不小的值，可以查表判斷它對應的顯著性水平，但這種方法和計算p值的思路基本一樣了，估計不能得分，所以考慮第二種方法，判斷四個系統(tǒng)的均值$1.8,2.6,2.1,1.9$能不能被同一個t檢驗導出的置信區(qū)間覆蓋，這個置信區(qū)間的中心位于$(1.8+2.6+2.1+1.9)/4=2.1$，標準差的估計量為0.194(=sqrt(MSE/4))，如果顯著性水平為$\alpha$，則置信區(qū)間端點為$2.1+/?0.194t_{1?\alpha /2}$，離2.1最遠的是2.6，注意到$(2.6?2.1)/0.194=2.577$，因此要覆蓋到還是需要比較小的$\alpha$的。答案說的大概就是第二種這個意思。

Part e
題目的6 pairs指的是每兩個system的打印效率都不相同。但ANOVA F檢驗顯著只能說明能顯著得拒絕原假設：所有system的打印效率都相同，即ANOVA F檢驗顯著說明存在至少一組有顯著差異。

Part f
Randomized Complete Blocking Design.

Part g
Completely Randomized Design with four replicates.

2015年5月第一題

這個題的設計是Factorial design with four replicates，Pen和Wash Treatment是treatment factor。
Part a
上面那個表里面的數(shù)字就是${\mu }_{ij}$的估計，
$${\hat{\mu }}_{ij}={\bar{y}}_{ij.}=\frac{1}{4}\sum _{i=1}^4{y}_{ijk},Var({\hat{\mu }}_{ij})=\frac{{\sigma }^2}{4}$$

MSE是${\sigma }^2$的估計量，所以${\hat{\mu }}_{ij}$標準差的估計量就是$\sqrt{MSE}/2$。

Part b
$$\begin{gathered} y_{ijk}=\mu +{\tau }_i+{\beta }_j+(\tau \beta {)}_{ij}+{?}_{ijk} \\ {?}_{ijk}{～}_{iid}N(0,{\sigma }^2),\sum _{i=1}^3{\tau }_i=\sum _{i=1}^3(\tau \beta {)}_{ij}=\sum _{j=1}^3{\beta }_j=\sum _{j=1}^3(\tau \beta {)}_{ij}=0 \end{gathered}$$

其中${\tau }_i,i=1,2,3$分別表示Pen為1、2、3的效應，${\beta }_j,j=1,2,3$分別表示W(wǎng)ash Treatment為1,、2、3的效應，$(\tau \beta {)}_{ij}$表示交互效應。參考UA MATH571B 試驗設計V 析因設計簡介

在Excel里面簡單算一下

Part c
Notice ${\hat{\tau }}_i={\bar{y}}_{i..}?\bar{y}={\bar{y}}_{i..}?({\bar{y}}_{1..}+{\bar{y}}_{2..}+{\bar{y}}_{3..})/3$. Take $i=1$ as example,
$$\begin{gathered} Var({\hat{\tau }}_1)=\frac{4Var({\bar{y}}_{1..})+Var({\bar{y}}_{2..})+Var({\bar{y}}_{3..})}{9} \\ =\frac{2}{3}Var({\bar{y}}_{1..})=\frac{2}{3}\frac{{\sigma }^2}{3\times 4}=\frac{{\sigma }^2}{18} \end{gathered}$$

用MSE作為${\sigma }^2$的估計量代入計算即可。

Part d\e

2016年5月第二題

This is a factorial design with two random factor with statistical model
$$\begin{gathered} y_{ijk}=\mu +{\tau }_i+{\beta }_j+(\tau \beta {)}_{ij}+{?}_{ijk} \\ {\tau }_i～N(0,{\sigma }_{\tau }^2),{\beta }_j～N(0,{\sigma }_{\beta }^2),(\tau \beta {)}_{ij}～N(0,{\sigma }_{\tau \beta }^2) \end{gathered}$$

It’s standard approach to calculate variance

2017年1月第一題

之前介紹試驗設計類型的時候已經(jīng)提到了，這個設計是One random factor design with 5 replicates.

Part b
$$\begin{gathered} y_{ij}=\mu +{\tau }_i+{?}_{ij},i,j=1,?,5 \\ {\tau }_i～N(0,{\sigma }_{\tau }^2),{?}_{ij}～N(0,{\sigma }^2) \end{gathered}$$

Part c
$$H_0:{\sigma }_{\tau }^2=0$$

Part d
Since the P-value is given as P = 0.004, and this is less than 0.05, we reject the null
hypothesis and conclude that the batches differ significantly.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH571B 试验设计 QE练习题 不使用代码分析试验结果I的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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