UA MATH564 概率論 高階矩的計算：有限差算子方法2

• 二項分布的高階矩
• Poisson分布的高階矩
• 負二項分布的高階矩

這一講介紹有限差算子方法怎么用來計算常見的離散型隨機變量的高階矩。這里提到的高階矩特指高階原點矩，原點矩與中心矩之間可以互相轉換：
$$E[X?\mu {]}^r=E\left(\sum _{j=0}^r{C}_r^j{X}^j{\mu }^{r?j}\right)=\sum _{j=0}^r{C}_r^j{\mu }^{r?j}E{X}^j$$

因為高階原點矩都是用第二類Stirling數表示的，這里給一個$S_2(n,k)$的表

后續的數值可以用遞推關系計算：
$$S_2(n+1,k)=k{S}_2(n,k)+S_2(n,k?1)$$

二項分布的高階矩

二項分布$X～Binom(n,p)$的mass function為
$$f_X(x)=C_n^x{p}^x(1?p{)}^{n?x},x=0,1,?,n$$

下面計算它的$r$階原點矩
$$\begin{gathered} E{X}^r=\sum _{x=0}^n{x}^r{C}_n^x{p}^x(1?p{)}^{n?x}=\sum _{x=0}^n{C}_n^x{p}^x(1?p{)}^{n?x}{M}^x{0}^r \\ =(pM+q{)}^n{0}^r=(1+p\Delta {)}^n{0}^r=\sum _{x=0}^r{C}_n^x{p}^x{\Delta }^x{0}^r \\ =\sum _{x=0}^r{C}_n^x{p}^x{S}_2(r,x)x!=\sum _{x=0}^r{A}_n^x{p}^x{S}_2(r,x) \end{gathered}$$

Poisson分布的高階矩

Poisson分布$X～Pois(\lambda )$的mass function為
$$f_X(x)=\frac{{\lambda }^x{e}^{?\lambda }}{x!},x=0,1,?,\infty$$

下面計算它的$r$階原點矩
$$\begin{gathered} E{X}^r=\sum _{x=0}^{\infty }{x}^r\frac{{\lambda }^x{e}^{?\lambda }}{x!}=\sum _{x=0}^{\infty }\frac{{\lambda }^x{e}^{?\lambda }}{x!}{M}^x{0}^r=e^{?\lambda }{e}^{\lambda M}{0}^r \\ =e^{\lambda \Delta }{0}^r=\sum _{x=0}^r\frac{{\lambda }^x}{x!}{\Delta }^x{0}^r=\sum _{x=0}^r\frac{{\lambda }^x}{x!}{S}_2(r,x)x!=\sum _{x=0}^r{\lambda }^x{S}_2(r,x) \end{gathered}$$

負二項分布的高階矩

負二項分布$X～NegBinom(r,p)$的mass function為
$$f_X(x)=C_{r+x?1}^{r?1}{p}^r(1?p{)}^x,x=0,1,?,\infty$$

下面計算它的$r$階原點矩
$$\begin{gathered} E{X}^r=\sum _{x=0}^{\infty }{x}^r{C}_{r+x?1}^{r?1}{p}^r(1?p{)}^x=\sum _{x=0}^{\infty }{C}_{r+x?1}^{r?1}{p}^r(1?p{)}^x{M}^x{0}^r \\ =p^r[1?(1?p)M{]}^{?r}{0}^r=p^r[p?(1?p)\Delta {]}^{?r}{0}^r=[1?\frac{1?p}{p}\Delta {]}^{?r}{0}^r \\ =\sum _{x=0}^r{C}_{r+x?1}^{r?1}(\frac{1?p}{p}{)}^x{\Delta }^x{0}^r=\sum _{x=0}^r{A}_{r+x?1}^x(\frac{1?p}{p}{)}^x{S}_2(r,x) \end{gathered}$$

總結

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