UA MATH564 概率論 計算至少有一個發(fā)生的概率：容斥原理與龐加萊公式

• 事件的并的Poincare公式
• 事件的交的Poincare公式

上一講介紹了$P({?}_{i=1}^n{A}_i)$的上界（Gunias不等式）和下界（鐘開萊-艾爾迪希不等式），這一講介紹準(zhǔn)確計算$P({?}_{i=1}^n{A}_i)$的方法——Poincare公式。

先考慮一個簡單情況，當(dāng)$n=2$時，$A_1\cup A_2$可以很容易寫成不相交的三個子事件的并：
$$A_1\cup A_2=(A_1?A_2)\cup (A_1\cap A_2)\cup (A_2?A_1)$$

根據(jù)概率的有限可加性，
$$\begin{gathered} P(A_1\cup A_2)=P(A_1?A_2)+P(A_1\cap A_2)+P(A_2?A_1) \\ =P(A_1)+P(A_2)?P(A_1\cap A_2) \end{gathered}$$

這個表達(dá)式類似兩個集合的容斥原理。與容斥原理類似，我們可以嘗試把這個結(jié)果推廣到$n$個事件，獲得準(zhǔn)確計算$P({?}_{i=1}^n{A}_i)$的方法。

事件的并的Poincare公式

引入一個記號：
$$S_m=\sum _{1\le i_1<i_2<?<i_m\le n}P(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap ?\cap A_{i_m})$$

下面給出Poincare公式的形式：
$$P(\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{A}_i)=\sum _{m=1}^n(?1{)}^{m+1}{S}_m$$

證明
其實早在Boole不等式的證明中，我們就已經(jīng)窺得Poincare公式的端倪。在Boole不等式的證明中，我們構(gòu)造了一個集列$\{B_i{\}}_{i=1}^n$，其中$B_1=A_1,B_2=A_2?A_1,?,B_n=A_n?{?}_{i=1}^{n?1}{A}_n$，顯然$B_i\cap B_j=?,?i=j$，并且
$$\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{B}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{A}_i$$

現(xiàn)在我們利用這個結(jié)構(gòu)做計算
$$\begin{gathered} P(\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{A}_i)=P(\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{B}_i)=P(\underset{i=1}{\overset{n?1}{?}}{B}_i)+P(B_n) \\ =P(\underset{i=1}{\overset{n?1}{?}}{A}_i)+P(A_n?\underset{i=1}{\overset{n?1}{?}}{A}_n)=P(\underset{i=1}{\overset{n?1}{?}}{A}_i)+P(A_n)?P(A_n\cap \underset{i=1}{\overset{n?1}{?}}{A}_i) \end{gathered}$$

根據(jù)這個遞推關(guān)系，
$$P(\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{A}_i)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)?\sum _{j=1}^{n?1}P(A_{j+1}\cap \underset{i=1}{\overset{j}{?}}{A}_i)$$

下面考慮$P(A_{j+1}\cap {?}_{i=1}^j{A}_i)$，同樣依據(jù)上面那個遞推關(guān)系：
$$P(A_{j+1}\cap \underset{i=1}{\overset{j}{?}}{A}_i)=P(\underset{i=1}{\overset{j}{?}}{A}_i\cap A_{j+1})=P(A_j\cap A_{j+1})?P(A_j\cap A_{j+1}\cap \underset{k=1}{\overset{j?1}{?}}{A}_k)$$

因此
$$P(\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{A}_i)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)?\sum _{1\le i<j\le n}P(A_i\cap A_j)+\sum _{j=1}^{n?1}P(A_j\cap A_{j+1}\cap \underset{k=1}{\overset{j?1}{?}}{A}_k)$$

接下來就是對$P(A_j\cap A_{j+1}\cap {?}_{k=1}^{j?1}{A}_k)$用那個遞推公式，把所有三三相交的概率分離出來，一直做下去做到$nn$相交的概率即可！

證畢

事件的交的Poincare公式

基于事件的并的Poincare公式與de Morgan律，我們可以推出事件的交的Poincare公式。
$$\begin{gathered} P(\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{A}_i)=1?P(\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{\bar{A}}_i)=1?\sum _{m=1}^n(?1{)}^{m+1}\sum _{1\le i_1<i_2<?<i_m\le n}P({\bar{A}}_{i_1}\cap {\bar{A}}_{i_2}\cap ?\cap {\bar{A}}_{i_m}) \\ =1?\sum _{m=1}^n(?1{)}^{m+1}\sum _{1\le i_1<i_2<?<i_m\le n}[1?P(A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup ?\cup A_{i_m})] \\ =1?\sum _{m=1}^n(?1{)}^{m+1}{C}_n^m+\sum _{m=1}^n(?1{)}^{m+1}\sum _{1\le i_1<i_2<?<i_m\le n}P(A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup ?\cup A_{i_m}) \\ =\sum _{m=1}^n(?1{)}^{m+1}\sum _{1\le i_1<i_2<?<i_m\le n}P(A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup ?\cup A_{i_m}) \end{gathered}$$

定義記號
$${\tilde{S}}_m=\sum _{1\le i_1<i_2<?<i_m\le n}P(A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup ?\cup A_{i_m})$$

事件的交的Poincare公式可以寫成
$$P(\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{A}_i)=\sum _{m=1}^n(?1{)}^{m+1}{\tilde{S}}_m$$

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH564 概率论 计算至少有一个发生的概率：容斥原理与庞加莱公式的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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