UA MATH566 統計理論 位置-尺度參數族

• 對位置-尺度參數族做位置-尺度變換
• • 對正態分布做位置-尺度變換
  • 對Gamma分布做位置-尺度變換
  • • 對指數分布做位置尺度變換
  • 對均勻分布做位置-尺度變換

位置-尺度變換是隨機變量很常見的一類變換，對于一元隨機變量$X$，假設$X$的累積分布函數為$F(x)$，概率密度為$f(x)$，其中$F(x),f(x)$是不含參變量的已知函數。定義
$$Z=\sigma X+\mu$$

則稱$Z$是$X$的一個位置-尺度變換，其中$\mu$是位置變換參數，$\sigma$是尺度變換參數。
$$\begin{gathered} F_Z(z)=P(Z\le z)=P(\sigma X+\mu \le z)=P(X\le (z?\mu )/\sigma )=F((z?\mu )/\sigma ) \\ {f}_Z(z)=F_Z^{\prime }(z)=\frac{1}{\sigma }f((z?\mu )/\sigma ) \end{gathered}$$

稱$f_Z(z)$屬于位置-尺度參數族。

對位置-尺度參數族做位置-尺度變換

假設$Y=a+bZ$，則
$$\begin{gathered} F_Y=P(Y\le y)=P(a+bZ\le y)=P(Z\le (y?a)/b)=F_Z((y?a)/b) \\ {f}_Y(y)=\frac{1}{b}{f}_Z((y?a)/b)=\frac{1}{b\sigma }f\left(\frac{y?a?b\mu }{b\sigma }\right) \end{gathered}$$

$Z$的位置-尺度參數為$(\mu ,\sigma )$，經過再一次的位置-尺度變換$Y=a+bZ$后，其參數變為$(a+b\mu ,b\sigma )$。

還有一個很重要的問題是怎么證明某個隨機變量$Z$服從位置-尺度參數族。根據上面的敘述我們有兩種證明方法，第一種證明方法是直接根據定義，只要找到分布函數已知的隨機變量$X$，然后證明$Z$是$X$的一個位置-尺度變換即可；第二種證明方法就是利用這條性質，如果對$Z$再做一個位置-尺度變換，并且上述性質滿足，那么$Z$服從位置-尺度參數族。

對正態分布做位置-尺度變換

假設$Z～N(\mu ,{\sigma }^2)$，做變換$Y=a+bZ$，則$Y～N(a+b\mu ,b^2{\sigma }^2)$。先從正態分布的線性變換不變性來理解，$Y$是$Z$的線性變換的結果，因此$Y$也服從正態分布，
$$\begin{gathered} EY=E[a+bZ]=a+bEZ=a+b\mu \\ Var(Y)=Var(a+bZ)=b^{2}Var(Z)=b^2{\sigma }^2 \\ ?Y～N(a+b\mu ,b^2{\sigma }^2) \end{gathered}$$

下面驗證正態分布是位置-尺度參數族：
$$f_Z(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left(?\frac{(z?\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$

方法一（定義法）：假設$W～N(0,1)$，則$W$的分布函數不含未知參數。因為$Z=\mu +\sigma W$，所以$Z$服從位置-尺度參數族，位置-尺度參數為$(\mu ,\sigma )$。

方法二（位置-尺度變換法）：假設$Y=a+bZ$，則$Y～N(a+b\mu ,(b\sigma {)}^2)$，由此看出$Z$是位置-尺度參數族，并且位置-尺度參數為$(\mu ,\sigma )$。

這個例子給我們提了個醒，分布的自然參數（比如這里的$\mu ,{\sigma }^2$）不一定是位置-尺度參數（比如這里是$\mu ,\sigma$）。

對Gamma分布做位置-尺度變換

假設$Z～\Gamma (\alpha ,\beta )$，討論$Z$是不是位置-尺度參數族，因為Gamma分布對線性變換的規律沒有學過，所以考慮用位置-尺度變換法來做。假設$Y=\frac{Z?a}{b}$，則
$$\begin{gathered} P(Y\le y)=P(Z\le a+by)=F_Z(a+by) \\ {f}_Y(y)=b{f}_Z(a+by) \end{gathered}$$

因此
$$f_Y(y)=b\frac{{\beta }^{\alpha }(a+by{)}^{\alpha ?1}}{\Gamma (\alpha )}{e}^{?\beta (a+by)}=\frac{(b\beta {)}^{\alpha }(\frac{a}{b}+y{)}^{\alpha ?1}}{\Gamma (\alpha )}{e}^{?b\beta (\frac{a}{b}+y)},y>?\frac{a}{b}$$

顯然這個形式并不是Gamma分布，那么它是個什么呢？假設$a=0$，則$Y=Z/b$的概率密度為
$$f_Y(y)=\frac{(b\beta {)}^{\alpha }{y}^{\alpha ?1}}{\Gamma (\alpha )}{e}^{?b\beta y}$$

這是$\Gamma (\alpha ,b\beta )$的概率密度。所以Gamma分布并不是位置-尺度參數族。記$\lambda =1/\beta$，$Y=bZ$，則
$$\begin{gathered} f_Z(z)=\frac{(\frac{1}{\lambda }{)}^{\alpha }{z}^{\alpha ?1}}{\Gamma (\alpha )}{e}^{?\frac{z}{\lambda }} \\ {f}_Y(y)=\frac{(\frac{1}{\lambda b}{)}^{\alpha }{y}^{\alpha ?1}}{\Gamma (\alpha )}{e}^{?\frac{y}{\lambda b}} \end{gathered}$$

即$\lambda$是Gamma分布的尺度參數。根據上面的推導，假設$b=1$，則$Y=a+Z$的概率密度為
$$f_Y(y)=\frac{{\beta }^{\alpha }(a+y{)}^{\alpha ?1}}{\Gamma (\alpha )}{e}^{?\beta (a+y)},y>?a$$

相當于就是讓概率密度往左平移$a$個單位。

對指數分布做位置尺度變換

指數分布是一種特殊的Gamma分布，$Exp(\beta )=\Gamma (1,\beta )$，因此指數分布也是尺度分布，它的尺度參數也是$1/\beta$。假設$Z～Exp(\beta )$，則
$$f_Z(z)=\beta e^{?\beta z},z>0$$

做尺度變換$Y=bZ$，則尺度參數變為$b/\beta$，指數分布變為$Exp(\beta /b)$，
$$f_Y(y)=\frac{\beta }{b}{e}^{?\frac{\beta }{b}y},y>0$$

對均勻分布做位置-尺度變換

假設$Z～U(c?\theta ,c+\theta )$，考慮$Y=a+bZ$，
$$\begin{gathered} P(Y\le y)=P(z\le \frac{y?a}{b})=\frac{y?a?b(c?\theta )}{2b\theta } \\ {f}_Y(y)=\frac{1}{b}\frac{1}{2\theta } \end{gathered}$$

這說明均勻分布是位置尺度參數族，其位置尺度參數為$(c?\theta ,\theta )$，經過位置-尺度變換$Y=a+bZ$，其位置尺度參數變為$(a+b(c?\theta ),b\theta )$。

總結

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