UA MATH564 概率論VI 數理統計基礎5 F分布

假設$X～{\chi }_{m,\delta }^2,Y～{\chi }_n^2$且二者獨立，則
$$Z=\frac{X/m}{Y/n}～F_{m,n,\delta }$$
其中$\delta$被稱為非中心參數，$\delta =0$則稱$Z$服從中心化的F分布，簡稱F分布。注意到$Z$也是兩個隨機變量的商，可以用上一講介紹的引理1計算$Z$的概率密度，此處省略過程：
$$\begin{gathered} f(x|m,n,\delta )=e^{?\frac{{\delta }^2}{2}}\sum _{i=0}^{\infty }\frac{(\frac{{\delta }^2}{2}{)}^i}{i!}{n}^{\frac{n}{2}}{m}^{\frac{m}{2}+i}{c}_i\frac{x^{\frac{m}{2}?1+i}}{(n+mx{)}^{\frac{m+n}{2}+i}} \\ {c}_i=\frac{\Gamma (\frac{m+n}{2}+i)}{\Gamma (\frac{n}{2})\Gamma (\frac{m}{2}+i)} \end{gathered}$$

當$\delta =0$時，概率密度為
$$f(x|m,n)=\frac{\Gamma (\frac{m+n}{2})}{\Gamma (\frac{n}{2})\Gamma (\frac{m}{2})}{n}^{\frac{n}{2}}{m}^{\frac{m}{2}}\frac{x^{\frac{m}{2}?1}}{(n+mx{)}^{\frac{m+n}{2}}}$$
下面介紹三條性質：

性質1：$t_{n,\delta }{=}_d{F}_{1,n,\delta }$

性質2：$X_i～N(a,{\sigma }^2),Y_j～N(b,{\sigma }^2),i=1,?,m,j=1,?,n$所有的$X,Y$均互相獨立，則
$$Z=\frac{\frac{1}{m?1}{\sum }_{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2}{\frac{1}{n?1}{\sum }_{j=1}^n(Y_j?\bar{Y}{)}^2}～F_{m?1,n?1}$$
性質3：記$X_n～F_{m,n,\delta }$，則$X_n{\to }_d\frac{1}{m}{\chi }_{m,\delta }^2$

性質1根據概率密度的表達式就可以證明，性質2也可以根據定義寫出來。性質1的意義是說明在線性模型中，針對單個系數做t檢驗和做partial F檢驗是等價的；性質2的意義是給雙正態總體的方差檢驗提供依據。下面證明性質3：

證明
根據定義，可以將$X_n$寫成
$$X_n=\frac{K/m}{Y/n}～F_{m,n,\delta }$$

$K～{\chi }_{m,\delta }^2,Y～{\chi }_n^2$且二者獨立。其中$Y/n$又可以寫成
$$\frac{Y}{n}=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{Z}_j^2,Z_j{～}_{iid}N(0,1)$$

根據大數定律，
$$\frac{Y}{n}=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{Z}_j^2{\to }_{P}E[Z_1^2]=1$$

因此$X_n{\to }_{d}K/m～\frac{1}{m}{\chi }_{m,\delta }^2$
證畢

總結

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