UA MATH564 概率論III 期望

• 隨機變量的函數的期望
• • 特征函數，矩生成函數，累積量生成函數，概率生成函數

這一講討論一元隨機變量。

隨機變量的函數的期望

對于隨機變量$X$，假設$g$是定義在它樣本空間上的可測函數，則隨機變量的函數的期望指的是$E[g(X)]$。這種表示具有一般性，它可以表示概率、矩、生成函數。比如取$g(x)=I(x\le a)$，則
$$E[g(X)]=E[I(X\le a)]={\int }_{x\le a}P(dx)=P(x\le a)$$
隨機變量的函數的期望就成了概率。下面討論用隨機變量的函數的期望表示矩和生成函數。

如果$g(x)=(x?EX{)}^k$，則$E[g(X)]=E[X?EX{]}^k$，這個是$X$的$k$階中心原點矩。如果$g(x)=x^k$，則$E[g(X)]=E[X^k]$，這個是$X$的$k$階中心矩。一階原點矩叫期望、二階中心矩叫方差，${\gamma }_1$叫偏度，${\gamma }_2$叫峰度：
$${\gamma }_1=E\left[{\left(\frac{X?\mu }{\sigma }\right)}^3\right],{\gamma }_2=E\left[{\left(\frac{X?\mu }{\sigma }\right)}^4\right]?3$$
那個3是標準正態分布的峰度。

特征函數，矩生成函數，累積量生成函數，概率生成函數

如果$g(x)=\exp (i\theta x)$，$E[g(X)]=E\exp (i\theta X)={?}_X(\theta )$，這個叫特征函數，也是分布函數的Fourier變換。因為$|g(x)|=1$，${?}_X(\theta )$對所有分布都存在。

如果$g(x)=\exp (tx)$，$E[g(X)]=E\exp (tX)=M_X(t)$，這個叫矩生成函數，或者矩母函數，或者分布函數的Laplace變換。它有一個比較有用的性質：
$$M_X^{(k)}(t)=E[X^k\exp (tX)],M^{(k)}(0)=E[X^k]$$
也就是根據它的導數可以確定出各階原點矩，因此得名矩母函數。根據積分變換的唯一性，特征函數與矩母函數和分布之間都具有一一對應的關系，當變換法不適用的時候，也可以通過矩母函數來確定某個隨機變量的函數的分布。

定義$K_X(t)=\ln M_X(t)$，這個叫cumulant生成函數，${\kappa }_k$是$X$的$k$階cumulant：
$${\kappa }_k=K_X^{(k)}(0)$$
這個cumulant不太直觀，但可以簡單計算一下
$${\kappa }_1=EX,{\kappa }_2=VarX$$
cumulant的一個比較有用的應用是作為Edgeworth級數的系數的一部分。

如果$g(x)=z^x,x\in {\mathbb{Z}}^{+}$，$E[g(X)]=E[z^X]={\rho }_X(z)$，這個是離散型隨機變量的概率母函數或者概率生成函數，或者分布列的z變換。它的性質是
$$P(X=x)=\frac{1}{x!}{\rho }_X^{(x)}(0),{\rho }_X^{(k)}(1)=E(X{)}_k$$
其中$E(X{)}_k$是$X$的$k$階factorial moment，
$$E(X{)}_k=EX(X?1)?(X?k+1)$$

總結

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