UA MATH565C 隨機微分方程VI 擴散過程簡介

• Kolmogorov定理

稱具有路徑連續的Markov Family $({\xi }_t,P_x)$是一個diffusion，如果$C^2?D_A,?f\in C^2$，
$$Af(x)=\frac{1}{2}\sum a^{ij}(x)\frac{{?}^{2}f(x)}{?x^i?x^j}+\sum b^j(x)\frac{?f(x)}{?x^j}=Lf(x)$$
其中$a^{ij},b^j$是連續函數。算子$L$被稱為generator，它與$A$在$C^2$上相等，這個結論由Kolmogorov給出。

Kolmogorov定理

記$U_{?}(x)$是$x$的鄰域，$V_{?}(x)$是$U_{?}$的補集，$?epsilon>0$，如果下面三個條件在$\Omega$上一致成立，則$C^2?D_A,?f\in C^2,Af=Lf$：當$t\to 0$時，

$P(t,x,V_{?}(x))=o(t)$

${\int }_{U_{?}(x)}(y^i?x^i)P(t,x,dy)=b^i(x)t+o(t)$

${\int }_{U_{?}(x)}(y^i?x^i)(y^j?x^j)P(t,x,dy)=a^{ij}(x)t+o(t)$

條件一說明具有路徑連續的Markov Family $({\xi }_t,P_x)$的存在性（Dynkin-Kinney定理）。

證明 （思路）
考慮$f\in C^2$的二階展開：
$$f(y)=f(x)+\sum \frac{?f(x)}{?x^j}(y^j?x^j)+\frac{1}{2}\sum \frac{{?}^{2}f(x)}{?x^i?x^j}(y^i?x^i)(y^j?x^j)+\alpha |x?y{|}^2$$
其中$|\alpha (x,y)|$有界，$|y?x|<?,??$，對于$P^{t}f(x)=\int f(y)P(t,x,dy)$，計算
$$P^{t}f(x)?f(x)={\int }_{U_{?}(x)}[\sum \frac{?f(x)}{?x^j}(y^j?x^j)+\frac{1}{2}\sum \frac{{?}^{2}f(x)}{?x^i?x^j}(y^i?x^i)(y^j?x^j)]P(t,x,dy)+o(t)$$
右邊的式子就是$Lf+o(t)$。這里的領域可以理解成$\delta (y?x)$不為零的區域，所以對狀態空間$\Omega$求積分就等于對領域求積分，誤差項$\alpha |x?y{|}^2$是有界的，所以積分之后誤差項就成了$o(t)$。

總結

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