UA MATH565C 隨機微分方程V Markov Family的算子

• 函數的算子
• 測度的算子
• Homogeneous Markov Family

函數的算子

這一講正式介紹Markov Family上的算子。定義算子$P^{st}$為
$$P^{st}f(x)={\int }_{\Omega }f(y)P(s,x,t,dy)$$
注意到右邊這個積分其實是條件期望$E[f({\xi }_t)|{\xi }_s=x]$，其中$f$是定義在$\Omega$上的一個實值函數。

從這個定義可以看出構造算子的關鍵是轉移函數$P(s,x,t,\Gamma )$。給定某個隨機過程${\xi }_t$的轉移函數，上一講提到它們構成Markov Family的條件是
$$P[{\xi }_{t_1}\in {\Gamma }_1,?,{\xi }_{t_n}\in {\Gamma }_n]={\int }_{{\Gamma }_1}P(s,x,t_1,d{y}_1){\int }_{{\Gamma }_2}?{\int }_{{\Gamma }_n}P(t_{n?1},y_{n?1},t_n,d{y}_n)$$
直觀上很難看出這個方程是個啥，但我們可以考慮一個更簡單的情況。因為$?s\le t\le u$
$$P_{s,x}[{\xi }_u\in \Gamma ]=P_{s,x}[{\xi }_t\in \Omega ,{\xi }_u\in \Gamma ]$$
也就是說如果取一個中點，則起點到終點的概率等于從起點到經過中點再到終點的所有可能路徑的概率之后。這個式子用積分表示就是Chapman-Kolmogorov方程：
$$P(s,x,u,\Gamma )={\int }_{\Omega }P(s,x,t,dy)P(t,y,u,\Gamma )$$
這其實是上面那個更復雜的方程的一個充分必要條件。

接下來再討論一下那個算子$P^{st}$。因為它是一個期望，要保證它存在的話需要$f(x)$絕對可積。這里用函數的supnorm，
$$||f||=\underset{yin\Omega }{\sup }|f(y)|$$
則
$$\begin{gathered} |P^{st}(x)|\le {\int }_{\Omega }P(s,x,t,dy)|f(y)| \\ \le {\int }_{\Omega }P(s,x,t,dy)||f||=||f|| \end{gathered}$$
因此基于函數的supnorm的算子$P^{st}$的導出范數滿足
$$||P^{st}||\le 1$$
所以只要函數$f$有界，這個算子就存在。這個算子有如下的性質：

線性性（來自期望的線性性）；

壓縮性：$||P^{st}||\le 1$；

非負保號性，如果$f(x)\ge 0,?x$，$P^{st}f(x)\ge 0$；

$P^{st}1=1$

$P^{ss}$是恒等算子；

Chapman-Kolmogorov方程：$P^{su}=P^{st}{P}^{tu}$,$?s\le t\le u$

測度的算子

假設$\nu$是$\Omega$上的一個測度，定義
$$\nu P^{st}[\Gamma ]={\int }_{\Omega }\nu (dx)P(s,x,t,\Gamma )$$
有的概率論的教材也會把這個算子記成$(P^{st}{)}^{?}\nu$。如果$\nu$也是一個概率，這個作用在測度上的算子就比較好解釋了，它相當于就是初始狀態的分布，用$\nu P^{st}[\Gamma ]$就可以基于Markov Family研究更一般的Markov過程。

給定一個轉移函數，是否存在對應的Markov Family是有人回答過的問題了。將$P^{st}$
約束在有界連續函數空間上，只要它滿足Feller condition，并且$\Omega$是緊集，就會有對應的Markov Family存在。

Homogeneous Markov Family

如果$P(s+h,x,t+h,\Gamma )=P(s,x,t,\Gamma )$，稱有這樣的轉移函數的Markov Family是Homogeneous Markov Family。記$P(t,x,\Gamma )=P(s?r,x,\Gamma )=P(r,x,s,\Gamma )$，則根據它定義的算子是
$$P^{t}f(x)={\int }_{\Omega }f(y)P(t,x,dy)$$
這個算子具有如下性質：

線性性；

非負保號性；

壓縮性：$||P^t||\le 1$；

$P^{t}1=1$；

$P^0$是恒等算子；

$P^{t+s}=P^t{P}^s$

這些性質就是從一般的Markov Family繼承來的。這里面有一個比較有趣的性質，第六條性質，它使得$P^t$成為一個semigroup homomorphism (半群同態)。因此我們可以用半群理論來研究Homogeneous Markov Family。類比Markov Chain轉移概率矩陣滿足$P^{(z)}=P^z$，我們希望Homogeneous Markov Family也有類似的表示，比如：
$$P^t=e^{tA}$$
其中$A$是infinitesimal generator of the semigroup。

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總結

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