UA MATH565C 隨機微分方程III Ito積分簡介

• Wiener過程的分割
• • 與Riemann積分的對比
• Ito積分的構造

在隨機微分方程解的構造中，積分
$${\int }_0^t\sigma (X_s)d{W}_s$$
被叫做Ito積分，這一part的目標是構造Ito積分并給出一些Ito積分常用的性質。

Riemann積分和Lebesgue積分的構造是大家耳熟能詳的，Riemann積分的構造中最重要的思想是積分就是基于分割定義的部分和的極限；Lebesgue積分的構造中主要的思路是先定義簡單可測函數的積分，再用簡單可測函數序列逼近一般可測函數。把這些思想用在Ito積分的構造中，首先我們研究分割和部分和的性質，然后定義簡單隨機過程的積分，再用簡單隨機過程的序列逼近一般隨機過程。

Wiener過程的分割

給定$t\in \mathcal{T}$，定義$t_j=\frac{j}{n}t,j=0,?,n?1$，則
$$[0,t]=[t_0,t_1]?(t_1,t_2]???(t_{n?1},t_n]$$
這是時域上的一個equal-partition。從而
$$W_t=\sum _{j=0}^{n?1}(W_{t_{j+1}}?W_{t_j})$$

定理 $$\sum _{j=0}^{n?1}(W_{t_{j+1}}?W_{t_j}{)}^2{\to }_{L^2}t,asn\to \infty$$
證明
等價敘述是
$$E{\left[\sum _{j=0}^{n?1}(W_{t_{j+1}}?W_{t_j}{)}^2?t\right]}^2\to 0$$
根據Wiener過程的性質，不同的增量${\Delta }_j{W}_t$是獨立的。定義兩個符號
$$\begin{gathered} {\Delta }_j{W}_t=W_{t_{j+1}}?W_{t_j}～N(0,{\Delta }_{j}t) \\ {\Delta }_{j}t=t_{j+1}?t_j=\frac{t}{n} \end{gathered}$$
在構造積分取部分和的極限時，求的是部分和在分割的模趨于0的時候部分和的極限。Riemann積分中分割的模一般用所有分割的Lebesgue測度的上確界。但構造Ito積分的時候分割${\Delta }_j{W}_t$是隨機過程，當$n$趨近于無窮時，${\Delta }_j{W}_t{\to }_{L^2}0$，感覺上符合分割的模趨于零這個想法的。
$$\sum _{j=0}^{n?1}(W_{t_{j+1}}?W_{t_j}{)}^2?t=\sum _{j=0}^{n?1}[({\Delta }_j{W}_t{)}^2?{\Delta }_{j}t]$$
定義$Z_j=({\Delta }_j{W}_t{)}^2?{\Delta }_{j}t$，顯然$E{Z}_j=0$。則
$$(\sum _{j=0}^{n?1}{Z}_j{)}^2=\sum _{j=0}^{n?1}{Z}_j^2+\sum _{j=k}{Z}_j{Z}_k$$
注意到$j=k$時，$Z_j$與$Z_k$是獨立的，因此
$$E(\sum _{j=0}^{n?1}{Z}_j{)}^2=E\sum _{j=0}^{n?1}{Z}_j^2+\sum _{j=k}E{Z}_{j}E{Z}_k=\sum _{j=0}^{n?1}E{Z}_j^2$$
計算
$$Z_j^2=[({\Delta }_j{W}_t{)}^2?{\Delta }_{j}t{]}^2=({\Delta }_j{W}_t{)}^4?2({\Delta }_j{W}_t{)}^2{\Delta }_{j}t+({\Delta }_{j}t{)}^2$$
上一講給出了求Wiener過程$n$階矩的公式，直接套用可以得到
$$E({\Delta }_j{W}_t{)}^4=3({\Delta }_{j}t{)}^2,E({\Delta }_j{W}_t{)}^2=({\Delta }_{j}t{)}^2$$
帶入計算
$$E(\sum _{j=0}^{n?1}{Z}_j{)}^2=\sum _{j=0}^{n?1}2({\Delta }_{j}t{)}^2=\frac{2t^2}{n}\to 0,asn\to \infty$$

之所以需要這個定理是因為在$[0,t]$上$W_t$的方差為$t$，作了分割${\sum }_{j=0}^{n?1}(W_{t_{j+1}}?W_{t_j})$之后，要保證當$n$趨近于無窮的時候，分割的方差要趨近于$t$。大于$t$意味著做了分割之后隨機過程包含的信息反而增多了，顯然是不合理的；小于$t$說明這個分割會造成信息損失。

與Riemann積分的對比

我們可以考慮一下與${\int }_0^t\sigma (X_s)d{W}_s$相似的Riemann積分：假設$g\in C^1(\mathbb{R})$
$${\int }_0^{t}f(s)dg(s)$$
同樣用以下分割
$$[0,t]=[t_0,t_1]?(t_1,t_2]???(t_{n?1},t_n]$$
定義${\Delta }_{j}g(t)=g(t_{j+1})?g(t_j)$，要與Ito積分對比的話需要考慮分割的平方和：
$$\sum _{j=0}^{n?1}({\Delta }_{j}g{)}^2=\sum _{j=0}^{n?1}(g(t_{j+1})?g(t_j){)}^2$$
用Lagrange中值定理，$?t_j^{?}\in (t_j,t_{j+1})$
$$\begin{gathered} \sum _{j=0}^{n?1}(g(t_{j+1})?g(t_j){)}^2=\sum _{j=0}^{n?1}(g^{\prime }(t_j^{?}){\Delta }_{j}t{)}^2 \\ \le [\underset{j}{\sup }{g}^{\prime }(t_j^{?}){]}^2\sum _{j=0}^{n?1}({\Delta }_{j}t{)}^2=\frac{[{\sup }_j{g}^{\prime }(t_j^{?}){]}^2{t}^2}{n}\to 0 \end{gathered}$$
Wiener過程的分割結論是：
$$\sum _{j=0}^{n?1}[(W_{t_{j+1}}?W_{t_j}{)}^2?{\Delta }_{j}t]{\to }_{L^2}0$$
和Riemann積分的分割相比主要有兩點區別：

Riemann積分的分割的模收斂速度至少是兩階的；而Wiener過程的分割包含了時間的流逝（好文藝的描述）

收斂的mode不一樣，Riemann積分的分割就是實數域上的收斂，Wiener過程的是$L^2$收斂。

如果只有第二個區別還可以直接把Riemann積分的構造套用在Ito積分上，但第一個區別導致這種生搬硬套注定要發散，所以需要另外的構造方式。

Ito積分的構造

用一個簡單的例子，${\int }_0^t{W}_{s}d{W}_s$來說明Ito積分的部分和與Riemann積分和Lebesgue積分的區別。

Riemann積分的部分和是對每個分割的模與分割內選取的任一點函數值的乘積求和；簡單函數的Lebesgue積分在每個分割內的函數值是常數，不存在選取的問題。Ito積分的部分和應該在分割內選取哪一點是一個值得討論一下的問題，這里給出兩種可能的方案：

Left Rule：$I_n={\sum }_{j=0}^{n?1}{W}_{t_j}{\Delta }_j{W}_t$

Right Rule: $J_n={\sum }_{j=0}^{n?1}{W}_{t_{j+1}}{\Delta }_j{W}_t$

計算
$$\begin{gathered} I_n+J_n=\sum _{j=0}^{n?1}(W_{t_j}+W_{t_{j+1}}){\Delta }_j{W}_t=\sum _{j=1}^{n?1}(W_{t_{j+i}}^2?W_{t_j}^2)=W_t^2 \\ {J}_n?I_n=\sum _{j=0}^{n?1}({\Delta }_j{W}_t{)}^2{\to }_{L^2}t \end{gathered}$$
所以
$$\begin{gathered} I_n{\to }_{L^2}\frac{1}{2}{W}_t^2?\frac{t}{2} \\ {J}_n{\to }_{L^2}\frac{1}{2}{W}_t^2+\frac{t}{2} \end{gathered}$$
這兩種不同的選取導致部分和的極限完全不同，說明Ito積分的部分和不能選取分割內的任意點來構造。一個更關鍵的問題是應該選取哪個點才是合理的。

我們再來審視一下Ito積分與Riemann積分的區別。Riemann積分中用來作分割的函數$g$原象空間$R$就表示是一個參數空間，其中的點是沒有先后順序的。Ito積分中用來作分割的Wiener過程的原象空間是$(\Omega \times \mathcal{T},\mathcal{F}?\mathcal{B}(\mathcal{T}),P?\lambda )$，$\mathcal{T}=[0,\infty )$。事實上這并不是一個合理的定義，因為在這個乘積可測空間中時間集合$\mathcal{T}$的$\sigma$代數用的是Borel $\sigma$代數，這意味著$\mathcal{T}$的子集在映射中會像$g$的參數那樣被同等地對待。但是關于隨機過程$W_t$，一個常識是$t$比較小的$W_t$值一定比$t$比較大的先出現。因此$\mathcal{T}$中的元素與$[0,\infty )$有本質區別。

考慮到這個區別，Ito積分做了一個假設：Ito積分的被積函數不考慮當前時點以后的情況。也就是說在考慮分割${\Delta }_j{W}_t$的時候，我們永遠假設只知道$W_{t_j}$的行為，而$t_j$以后的行為是隨機的。并且還沒發生，所以部分和按$I_n$的方式來定義：
假設$f:(\Omega \times \mathcal{T},\mathcal{F}?\mathcal{B}(\mathcal{T}),P?\lambda )\to ({\mathbb{R}}^m,\mathcal{B}({\mathbb{R}}^m))$，
$${\int }_0^t{f}_{s}d{W}_s=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{j=0}^{n?1}{f}_{t_j}{\Delta }_j{W}_t$$

顯然這個積分就和Lebesgue積分比較相似了，下一講用和Lebesgue積分的構造類似的思路，先考慮step processes的Ito積分，再用step processes序列逼近一般隨機過程。但做這個之前還需要考慮一下對時間集$\mathcal{T}$的$\sigma$代數的重新定義。上面討論了用Borel $\sigma$代數是不行的，所以下一講還要給$\mathcal{T}$重新定義一個$\sigma$代數。

總結

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