UA MATH571B 試驗設計V 析因設計簡介

• 模型設定與假設
• • Response Surface
  • 一般的析因設計
  • 區組析因設計

之前講過的單因素到Graeco-Latin Square設計處理的都是一個treatment factor的問題，但大多數情況下做試驗不會只考慮一個treatment factor。超過一個treatment factor的設計叫析因設計（factorial design），這一講先介紹兩個treatment factor的析因設計，它相當于單因素試驗設計的推廣，后續會逐漸推廣到多個factor，并引入blocking、正交等概念。

模型設定與假設

只含有兩個treatment factor的析因試驗的統計模型為
$$\begin{gathered} y_{ijk}=\mu +{\tau }_i+{\beta }_j+(\tau \beta {)}_{ij}+{?}_{ijk},{?}_{ijk}{～}_{iid}N(0,{\sigma }^2) \\ i=1,?,a,j=1,?,b,k=1,?,n \end{gathered}$$
其中$\mu$是總體均值，${\tau }_i$是第一個treatment factor的level i 的treatment effect，${\beta }_j$是第二個treatment factor的level j 的treatment effect，$(\tau \beta {)}_{ij}$是第一個treatment factor的level i 與第二個treatment factor的level j 的交互效應，$n$是重復試驗的次數。還是用固定效應模型的假設
$$\sum {\tau }_i=\sum {\beta }_j=\sum _i(\tau \beta {)}_{ij}=\sum _j(\tau \beta {)}_{ij}=0$$
參數估計我就不寫了，每次都大同小異，直接上我老師ppt截圖，這些估計量都是OLS估計，也是MLE：

平方和的分解也懶得推了，反正每次都大同小異，也用老師slides的截圖

然后是關于treatment effect的假設檢驗

以及ANOVA table

到這里先評論兩點：

$SSE$的自由度是$ab(n?1)$，這意味著只做了一次試驗的話$MSE$是不存在的，這個上面的檢驗也就沒法做了，所以析因試驗需要做多組重復試驗；

模型需要驗證的假設還是正態性、獨立性、同方差性；

再強調一下可加性的含義。可加性指的是每個factor的effect加起來就是總的effect，顯然存在交互效應時就不滿足可加性，因此如果不是所有的交互效應都為零，我們應該認為析因試驗沒有可加性；但關于析因設計是否具有可加性，依然可以用Tukey‘s 檢驗來做。

效應的比較可以用單因素試驗的類似的辦法來做。

Response Surface

ANOVA都是把factor當成qualitative變量來處理的，如果factor是quantitative變量并且想當成quantitative變量來估計，可以用response surface的方法來處理，也就是用回歸的方法來估計模型：
$$y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_A+{\beta }_2{x}_B+{\beta }_3{x}_A{x}_B+?$$
得到估計量之后，畫出$\hat{y}$關于$x_A$與$x_B$的曲面就是response surface。

一般的析因設計

假設有$r$個factor，$F_1,?,F_r$，每一個的level數目為$l_i,i=1,?,r$，則共有
$$(\sum _{i=1}^r{l}_i)+(\sum _{i<j}{l}_i{l}_j)+(\sum _{i<j<j}{l}_i{l}_j{l}_k)+?+(\prod _{i=1}^r{l}_i)$$
種不同的效應。以三個factor的為例，模型設定為

ANOVA table為

區組析因設計

Blocked factorial design指的是在有nuisance factor的情況下考慮多個treatment factor的設計。以兩個treatment factor的試驗有一個nuisance factor為例，具體操作也比較簡單，把$n$個重復試驗設計為把$n$個block factor的level隨機分配給析因設計的單位即可。ANOVA table如下：

如果兩個treatment factor的試驗有兩個block factor，就先把兩個block factor弄成Latin Square，再隨機分配給析因設計的試驗單位，統計模型如下：

總結

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