UA MATH566 統(tǒng)計理論7 一個例子：推導T檢驗

T檢驗在math 571A和math 571B中已經用的很多了，這里按前兩講介紹的假設檢驗的理論回顧一下T檢驗，看一下T檢驗是怎么用似然比檢驗的思路推導出來的。
考慮雙邊的單總體檢驗：
$$\begin{gathered} H_0:\mu ={\mu }_0 \\ {H}_a:\mu ={\mu }_0 \end{gathered}$$
假設樣本為$X_1,?,X_n{～}_{iid}N(\mu ,{\sigma }^2)$，參數(shù)$\mu$與$\sigma$都是未知的。參數(shù)空間可以寫成
$$\begin{gathered} \Theta =\{(\mu ,{\sigma }^2):\mu \in \mathbb{R},{\sigma }^2>0\} \\ {\Theta }_0=\{(\mu ,{\sigma }^2):\mu ={\mu }_0,{\sigma }^2>0\} \\ {\Theta }_1=\{(\mu ,{\sigma }^2):\mu ={\mu }_0,{\sigma }^2>0\} \end{gathered}$$
根據(jù)Karlin-Rubin定理，這個檢驗的UMP拒絕域可以按如下方式構造：
$$C=\{x:\lambda (X)\le k_{\alpha }\}$$
滿足
$$P[X\in C]=P[\lambda (X)\le k_{\alpha }]\le \alpha$$
首先，參數(shù)在$\Theta$上的MLE及相應的似然函數(shù)為
$$\begin{gathered} \hat{\mu }=\bar{X},{\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2 \\ L(\hat{\mu },{\hat{\sigma }}^2|X)=(2\pi {\hat{\sigma }}^2{)}^{?n/2}\exp \left[?\frac{1}{2{\hat{\sigma }}^2}\sum _{i=1}^n(X_i?\hat{\mu }{)}^2\right] \\ =(2\pi {\hat{\sigma }}^2{)}^{?n/2}\exp \left[?\frac{n}{2}\right] \end{gathered}$$
參數(shù)在${\Theta }_0$上的MLE為及相應的似然函數(shù)為
$$\begin{gathered} \hat{\mu }={\mu }_0,{\hat{\sigma }}_0^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i?{\mu }_0{)}^2 \\ L(\hat{\mu },{\hat{\sigma }}_0^2|X)=(2\pi {\hat{\sigma }}_0^2{)}^{?n/2}\exp \left[?\frac{1}{2{\hat{\sigma }}_0^2}\sum _{i=1}^n(X_i?{\mu }_0{)}^2\right] \\ =(2\pi {\hat{\sigma }}_0^2{)}^{?n/2}\exp \left[?\frac{n}{2}\right] \end{gathered}$$
將MLE帶入到似然函數(shù)中計算似然比：
$$\Lambda (X)={\left(\frac{{\hat{\sigma }}_0^2}{{\hat{\sigma }}^2}\right)}^{?n/2}={\left(\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i?{\mu }_0{)}^2}{{\sum }_{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2}\right)}^{?n/2}$$
要讓這個值不超過某個$k_{\alpha }$，則$?c_{\alpha }$
$$\begin{gathered} c_{\alpha }\le \frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i?{\mu }_0{)}^2}{{\sum }_{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2}=\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2}{{\sum }_{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2}+\frac{{\sum }_{i=1}^n(\bar{X}?{\mu }_0{)}^2}{{\sum }_{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2} \\ =1+\frac{n(\bar{X}?{\mu }_0{)}^2}{{\sum }_{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2}?(c_{\alpha }?1)(n?1)\le \frac{n(\bar{X}?{\mu }_0{)}^2}{{\sum }_{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2/(n?1)} \end{gathered}$$
顯然右邊那項是T統(tǒng)計量的平方，記
$$T(X)=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}?{\mu }_0)}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2/(n?1)}}=\frac{\bar{X}?{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}～t(n?1)$$
從而
$$\sqrt{(c_{\alpha }?1)(n?1)}\le |T(X)|$$
其中$c_{\alpha }$要滿足
$$P[\sqrt{(c_{\alpha }?1)(n?1)}\le |T(X)|]\le \alpha$$
因此可以取$\sqrt{(c_{\alpha }?1)(n?1)}=t(\frac{\alpha }{2},n)$，即UMP的拒絕域為
$$\{X:|T(X)|\ge t(\frac{\alpha }{2},n?1)\}$$
正好就是t檢驗。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH566 统计理论7 一个例子：推导T检验的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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