电磁学讲义2：库仑定律
簡史
到了18世紀，靜電的定性性質已經廣被了解，下一個要解決的問題是如何定量地確定出電相互作用力。趙凱華的書上說，“人們對電的了解長期處于定性的初級階段，這是因為，一方面社會生產力的發展還沒有提出應用電力的急迫需求，另一方面，……。”書上這幾句話是庸俗的馬克思主義唯物觀，人們開始定量研究電相互作用，是科學的自然發展，與社會生產力的發展沒有任何關系。
1755年，富蘭克林曾經觀察到這樣一個現象，軟木塞從外面靠近一個帶電的金屬容器時，會受到金屬容器的吸引，然而若將軟木塞用線掛著放進容器內部，不論軟木塞處于容器內什么位置，都不會受到力的作用。富蘭克林向英國牧師約瑟夫·普利斯特里介紹了這個現象，并請他重復這個實驗。普利斯特里讀過牛頓的力學，知道位于球殼內部的質量不會受到的球殼對其的引力為零，據此，普利斯特里大膽猜想（1767年），兩個電荷之間的相互作用力與萬有引力的規律類似，與距離的平方反比。但是，普利斯特里并沒有在實驗上證實這一猜想。隨后，他投入化學的研究，并在化學上取得很大成就，還發明了碳酸飲料。
圖為普利斯特里
1769年，蘇格蘭物理學家和數學家約翰·羅賓遜，做了引力秤實驗，發現電斥力基本符合與距離平方成反比的關系。
圖為羅賓遜
圖為羅賓遜的實驗裝置
普利斯特里的猜想在18年后，被法國土木工程師和科學家庫侖的扭稱實驗所證實。庫侖的扭稱實驗只能測量同種電荷之間的作用力，異號電荷之間的作用力無法進行扭稱實驗，庫侖設計了電單擺實驗，測定異號電荷之間的作用力。
圖為庫侖
圖為庫侖的扭稱的草圖
圖為庫侖扭稱的原理圖
庫侖定律
庫侖通過實驗總結出兩個靜止點電荷間相互作用力的規律，現在稱之為庫侖定律。所謂點電荷，就是本身的幾何線度遠遠小于它到其他帶電體的距離的帶電體，這種情況下，這種帶電體的形狀和電荷在其中的分布無關緊要，可以抽象成一個幾何點。
庫侖定律的內容表述如下：
在真空中兩個靜止點電荷之間的相互作用力，其大小與它們之間距離的平方成反比，與它們電荷量的乘積成正比，作用力的方向在它們的連線上，同號電荷相斥，異號電荷相吸。
需要注意庫侖定律成立的條件，如“真空”、“靜止”，我們將在后面的章節討論，為何會有這些限制條件。在正常大氣壓下，空氣對庫侖力的影響一般可忽略，相對誤差約1/2000。
兩個點電荷\(q_1\)和\(q_2\)，相距\(r\)，\(q_1\)對\(q_2\)施加的力為
\begin{equation*} \vec {F}_{12}=k\frac{q_1q_2}{r}\hat{r}_{12} \end{equation*}
當\(q_1\)和\(q_2\)同號時，\(\vec {F}\_{12}\)與\(\hat{r}\_{12}\)同方向，即力為斥力；當\(q_1\)和\(q_2\)異號時，\(\vec {F}\_{12}\)與\(\hat{r}\_{12}\)反方向，即力為引力。當下標1、2對調，\(\hat{r}\_{21}=-\hat{r}\_{12}\)，于是\(\vec {F}\_{21}=-\vec {F}\_{12}\)，即靜止的點電荷之間的庫侖力滿足牛頓第三定律。后面我們將會講，運動的電荷之間的庫侖力不滿足牛頓第三定律。
比例系數\(k\)與單位制有關，在國際單位制中，\(k=9\times 10^9\mathrm {Nm}^2/\mathrm C^2\)，\(k\)又常寫為\(k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\)，其中\(\varepsilon_0=8.85\times 10^{-12}\mathrm C^2/\mathrm {Nm}^2\)，$\varepsilon_0是個物理常量，叫做真空電容率，或真空介電常數。
在一些早期的文獻，或現在一些理論文獻中，高斯單位制也常被采用，在高斯單位制中，\(k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=1\)，請參考趙凱華的書第六章第7節。
例1：\(\alpha\) 粒子的質量\(m=6.64\times 10^{-27}\mathrm {kg}\)，電量\(q=2e=3.2\times 10^{-19}\mathrm C\)。計算兩個\(\alpha\) 粒子之間的靜電相互作用力與萬有引力之比。萬有引力常數\(G=6.64\times 10^{-11}\mathrm{Nm^2/kg^2}\)
結果：\(\frac{F_e}{F_g}=3.1\times 10^{35}\)。
評論：對于微觀粒子，萬有引力相對庫侖力可以忽略，除非考慮的問題精確到小數點以后36位以后。那我們又是如何發現萬有引力的呢？因為原子整體對外是電中性的。
例2：原子核內兩個質子之間的庫侖力。
評論：需要更強的力將質子束縛在原子核內。
庫侖力服從疊加原理
庫侖定律描述的是兩個靜止的點電荷之間的力，如果有多個點電荷同時存在，該如何計算庫侖力呢？實驗發現，某個點電荷受到多個點電荷的作用力等于各個點電荷獨自對該點電荷的作用力的矢量和，這就是力的疊加原理。
例如，現在有3個電荷，\(q_1\)、\(q_2\)、\(q_3\)，電荷 \(q_3\) 所受到的庫侖力為：
\begin{equation*} \vec {F}_3=\vec {F}_{13}+\vec {F}_{23}=\frac{q_3}{4\pi\varepsilon_0}\left ( \frac{q_1}{r_{13}^2}\hat{r}_{13} + \frac{q_2}{r_{23}^2}\hat{r}_{23} \right ) \end{equation*}
如果有\(N\)個點電荷，\(q_1\)、\(q_2\)、\(\cdots\) 、\(q_N\)，其中某個點電荷\(q_i\) 受到的總的庫侖力為：
\begin{equation*} \vec {F}_i=\sum_{j=1,\neq i}^{j=N}\vec {F}_{ji}=\frac{q_i}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{j=1,\neq i}^{j=N}\frac{q_j}{r_{ji}^2}\hat{r}_{ji} \end{equation*}
例3：考慮三個電荷，\(q_1=12\mu \mathrm C\)，\(q_2=6\mu \mathrm C\)，\(q_1=-4\mu \mathrm C\)，相對位置如圖所示，求\(q_2\)所受到的靜電力。
例3的圖
解：\(q_1\)、\(q_3\)對\(q_2\)的靜電力分別為\(\vec {F}\_{12}\)和\(\vec {F}\_{32}\)，這兩個力的合力即為\(q_2\)所受到的靜電力\(\vec{F}\_2\)，即
\begin{equation*} \vec {F}_{2}=\vec {F}_{12}+\vec {F}_{32}=\frac{q_2}{4\pi\varepsilon_0}\left ( \frac{q_1}{r_{12}^2}\hat{r}_{12} + \frac{q_3}{r_{32}^2}\hat{r}_{32} \right )=(-0.8\vec{i}+0.6\vec{j})\mathrm N \end{equation*}
\(q_2\)所受到的靜電力的大小為
\[F\_2=\sqrt{0.8^2+0.6^2}\mathrm N=1N\]
方向如圖所示，與\(x\)軸負方向夾角為
\begin{equation*} \theta=\arctan\left (\frac{F_{32}}{F_{12}}\right )=\arctan(0.75)=37^{\circ} \end{equation*}
作業
第3題配圖
科研訓練：檢索文獻資料，寫一篇小論文，說明庫侖扭稱實驗的原理，并說明庫侖扭稱實驗為什么不適用于異號電荷。（兩周之內完成）
參考資料
- 《力學以外的世界》
- 陳秉乾《電磁學專題研究》
- 趙凱華《電磁學》
- Chapter 2 of Electricity, Magnetism, and Light
轉載于:https://www.cnblogs.com/joyfulphysics/p/4814508.html
總結
以上是生活随笔為你收集整理的电磁学讲义2：库仑定律的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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