把He核外的兩個電子看作有庫侖斥力的類H核外電子，由H的徑向函數和球諧函數

?

得到He核外電子的波函數

得到總的波函數

于是能級為

其中哈密頓量

電子1的動能+勢能+電子2的動能+勢能+兩個電子的庫侖排斥能，r12是兩個電子的距離.

變分得到

其中

關于原子核外1s軌道兩個電子的庫侖斥力積分已知

有

于是得到

于是氦原子的基態能量=（-4+1.25）*27.2ev=-74.8ev

?

Python代碼為

import sympy import math from sympy import symbols, cancela = sympy.Symbol('a') e = sympy.Symbol('e') m = sympy.Symbol('m') h = sympy.Symbol('h') l = sympy.Symbol('l') lp = sympy.Symbol('lp') r = sympy.Symbol('r') EE = sympy.Symbol('EE') r1 = sympy.Symbol('r1') r2 = sympy.Symbol('r2')x = sympy.Symbol('x') y = sympy.Symbol('y') z = sympy.Symbol('z')θ1= sympy.Symbol('θ1') θ2= sympy.Symbol('θ2') Φ1= sympy.Symbol('Φ1') Φ2= sympy.Symbol('Φ2')θ= sympy.Symbol('θ') Ψ= sympy.Symbol('Ψ') Φ= sympy.Symbol('Φ') pi=sympy.Symbol('pi') E=sympy.Symbol('E') I=sympy.Symbol('I') sin=sympy.Symbol('sin') cos=sympy.Symbol('cos') diff=sympy.Symbol('diff') integrate=sympy.Symbol('integrate')pi=sympy.pi E=sympy.E sin=sympy.sin cos=sympy.cos diff=sympy.diff integrate=sympy.integratefx=(2)**(1.5)*sympy.exp(-2*r)*pi**(-0.5)f1=( 1/(r*r) ) *diff ( ( r*r*diff(fx,r)) ,r)f2=( 1/(r*r*sin(θ)) ) * diff( ( sin(θ)*diff(fx,θ) ) ,θ)f3=( 1/(r*r*sin(θ)*sin(θ) ) )* diff(fx,Φ,Φ)f8=(-1/2)*(f1+f2+f3)*fx#print ( f1 ) #print ( f2 ) #print ( f3 )#print ( f8 )#球坐標積分 f9=( integrate( ( integrate( integrate( f8*r*r*sin(θ) , (r ,0 , float('inf') ) ) , (θ, 0 , pi ) ) ) , (Φ,0,2*pi) ) )print ( f9 )f10=fx*(-2/r)*fxf11=( integrate( ( integrate( integrate( f10*r*r*sin(θ) , (r ,0 , float('inf') ) ) , (θ, 0 , pi ) ) ) , (Φ,0,2*pi) ) )print ( f11 )print ("H", f9+f11 )#庫侖斥力積分 fr1=(2)**(1.5)*sympy.exp(-2*r1)*pi**(-0.5) fr2=(2)**(1.5)*sympy.exp(-2*r2)*pi**(-0.5)f21= fr1*fr2*(1/r1)* fr1*fr2*r1*r1*r2*r2f22= fr1*fr2*(1/r2)* fr1*fr2 *r1*r1*r2*r2f23=( integrate( f21 , (r2 ,0 , r1 ) ) )f24=( integrate( f22 , (r2 ,r1 , float('inf') ) ) )f25=( 16*pi**(2)* integrate( f24+f23 , (r1 ,0 , float('inf') ) ) )print("CR",f25)print("He", (f9+f11)*2+f25)

?

徐光憲---量子化學 p278氦原子和類氦原子的變分處理（-）

徐光憲---量子化學 p534 單中心電子-電子相互作用能積分

John P. Lowe, Kirk Peterson--- Quantum Chemistry p587 Appendix 3? Evaluation of the Coulomb Repulsion Integral Over 1s AOs

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的计算氦原子的基态能级的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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