最近對Levy過程驅(qū)動(dòng)的正倒向隨機(jī)微分方程感興趣，看些論文，做些筆記，這一篇是David Nualart，Wim Schoutens在2000年發(fā)表于Stochastic Processes and their Applications的論文，次年，Nualart&Schoutens考慮了一個(gè)由Teugels Martingale驅(qū)動(dòng)的倒向隨機(jī)微分方程，證明了這種BSDE的存在唯一性理論。

摘要：唯一具有混沌表示性質(zhì)和較弱可預(yù)測表示性質(zhì)且同時(shí)也是Levy過程的正規(guī)鞅，本質(zhì)上是布朗運(yùn)動(dòng)和補(bǔ)償泊松過程。對于一般的Levy過程(滿足某些矩條件)，我們引入了冪跳過程和相關(guān)的Teugels鞅。此外，我們對Teugels鞅進(jìn)行了正交化，并證明了它們的正交化與經(jīng)典正交多項(xiàng)式有著內(nèi)在的聯(lián)系。根據(jù)這些正交化的Teugels鞅，我們給出了每個(gè)平方積分隨機(jī)變量的混沌表示。平方可積隨機(jī)變量和平方可積鞅的同一個(gè)正交化鞅集的可預(yù)測表示是混沌表示的一個(gè)簡單結(jié)果。

1.1 正規(guī)鞅的混沌表示

Emery (1989)研究了正規(guī)鞅，即對于某個(gè)常數(shù)$c>0$，鞅$X$滿足$<X,X{>}_t=ct$的混沌表示性質(zhì)。 這一性質(zhì)表明，任何關(guān)于X可測的平方可積隨機(jī)變量都可以表示為關(guān)于X的多個(gè)隨機(jī)積分的正交和。
眾所周知(例如，Dellacherie等人，1992年，第207頁和Dermoune，1990年)，只有正規(guī)鞅X，具有CRP，甚至更弱的可預(yù)測表示特性，且為Levy過程，是布朗運(yùn)動(dòng)和補(bǔ)償泊松過程。

https://editor.csdn.net/md?articleId=105690716

1.2 本文內(nèi)容

本文假設(shè)Levy測度在原點(diǎn)以外有一個(gè)有限的Laplace變換，以一個(gè)合適的鞅正交序列來研究Levy過程的混沌表示性質(zhì)。這些鞅作為我們Levy過程的補(bǔ)償冪跳過程的正交化而得到。
第2節(jié)中，介紹了這些補(bǔ)償?shù)膬缣^程，并將它們轉(zhuǎn)化為一個(gè)正交序列。
第3節(jié)致力于證明混沌表示性質(zhì)，從中推導(dǎo)出可料表示。
第4節(jié)中，我們討論了一些具體的例子。

2. Levy過程及其power-jump過程

2.1 Levy過程

定義在完備概率空間$(\Omega ,F,P)$上的實(shí)值隨機(jī)過程$X=\{X_t,t\ge 0\}$稱為Levy過程，如果X具有平穩(wěn)獨(dú)立增量，且$X_0=0$。

一個(gè)Levy過程具有cadlag修正(Protter,1990,定理30,p.21)，假設(shè)使用這個(gè)cadlag版本。
令$F_t=G_t\vee N$，其中$G_t=\{X_s;0\le s\le t\}$是X的自然σ代數(shù)流，$N$是$F$的P-零集全體，可得$\{F_t,t\ge 0\}$是一個(gè)右連續(xù)的σ代數(shù)流(Protter, 1990, Theorem 31, p. 22)。假設(shè)$F$是由$X$產(chǎn)生的。

定理1.1 (Levy-Khintchine 任佳剛 隨機(jī)過程 P67定理4.2.3) 無窮可分過程$X_t$具有以下形式的特征函數(shù)

其中$\Phi (\theta )$是$X_1$的特征函數(shù)，函數(shù)$\psi (\theta )=\log \Phi (\theta )$稱為特征指數(shù)，滿足以下著名的Levy公式

其中，$a\in R,{\sigma }^2\ge 0$，$v$是$R/\{0\}$的測度，${\int }_{?\infty }^{\infty }(1x^2)v(dx)<\infty$。其中$v$是X的Levy測度。

因此，$X_t$具有所有階的矩（Protter,1990,定理34,p.25），多項(xiàng)式在$L^2(R,P(X_t^{?1}))$中稠密。

2.2 power-jump過程

以下$X$的轉(zhuǎn)換將在分析中發(fā)揮重要作用。

為標(biāo)記方便，令$X_t^{(1)}=X_t$。（注意該式只有$\sigma =0$時(shí)成立，根據(jù)levy-ito分解定理，保證維納過程不存在，由于該過程不是有限變差）。如果${\sigma }^2=0$, 則$[X,X{]}_t=X_t^{(2)}$。（Protter,2005,p.70）

過程$X_t^{(i)}$也是Levy過程（任佳剛 隨機(jī)過程 P74引理4.3.6）稱為power-jump過程，該過程是Levy過程且在與原Levy過程相同的點(diǎn)上跳躍。

可以得到$E[X_t]=E[X_t^{(1)}]=t{m}_1<\infty$，根據(jù)Protter(1990,p.29 定理38)，有

因此，定義

為補(bǔ)償$i$次power-jump過程。$Y_t^{(i)}$為正規(guī)鞅（由于對于可積的Levy過程$Z$，$\{Z_t?E[Z_t]，t\ge 0\}$是鞅，根據(jù)鞅的定義），第二作者將該鞅$Y_t^{(i)}$以導(dǎo)師的名字命名為Teugels martingale of order i。

在泊松過程的情況下，所有冪跳過程都是相同的，并且等于原泊松過程。 在布朗運(yùn)動(dòng)的情況下，所有嚴(yán)格大于1的冪跳過程等于零。

2.3 Teugels martingale的正交化

令${\mathcal{M}}^2$表示平方可積鞅空間，$M$滿足$su{p}_{t}E(M_t^2)<\infty ，M_0=0a.s$。根據(jù)鞅極限定理，若$M\in {\mathcal{M}}^2$，則$li{m}_{t\to \infty }E(M_t^2)=E(M_{\infty }^2)<\infty$，以及$M_t=E[M_{\infty }|{\mathcal{F}}_t]$。則$M\in {\mathcal{M}}^2$可以被終值$M_{\infty }$識(shí)別。

根據(jù)Protter(1990,p.148)，兩個(gè)鞅$M,N\in {\mathcal{M}}^2$強(qiáng)正交（$M\times N$）等價(jià)于乘積MN是一致可積鞅，即$[M,N]$是一致可積鞅。。

若兩個(gè)隨機(jī)變量$X,Y\in L^2(\Omega ,\mathcal{F})$滿足$E[XY]=0$，則$X,Y$弱正交$（X\perp Y）$。

我們正在尋找一組兩兩強(qiáng)正交鞅$\{H^{(i)}，i\ge 1\}$使得$H^{(i)}$是$Y^{(j)},j=1,2,...,i$的線性組合，且首項(xiàng)系數(shù)是1。令

則（Protter,2005,p.70）

以及

總之，我們認(rèn)為，$[H^{(i)},Y^{(j)}]$是鞅等價(jià)于$E[H^{(i)},Y^{(j)}{]}_1=0$。（$[H^{(i)},Y^{(j)}]?E[H^{(i)},Y^{(j)}{]}_t=[H^{(i)},Y^{(j)}]$是鞅）

考慮兩個(gè)空間：空間$S_1$是具有標(biāo)量積$<.,.{>}_1$的正實(shí)線上所有實(shí)多項(xiàng)式的空間

另一個(gè)空間$S_2$是Levy過程的Teugels鞅的所有線性變換的空間。

則空間$S_1$和空間$S_2$是等距同構(gòu)的，因此$\{1,x^2,x^3,...\}$的正交化給出了$\{Y^{(1)},Y^{(2)},Y^{(3)},...\}$的正交化。

在這些例子中，一些著名的正交多項(xiàng)式，如Laguerre、Meixner和Meixner-Pollaczek多項(xiàng)式，將在這種情況下出現(xiàn)。 在Schoutens和Teugels（1998）和Schoutens（1999）中可以找到正交多項(xiàng)式與Levy過程之間的另一種鞅關(guān)系。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的1. 列维过程的混沌及可料表示（1）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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