摘要：監測和評估金融市場的系統性風險非常重要，但它往往需要無法獲得的或可獲得的非常低頻率的數據。 因此，有部分信息的系統性風險評估可能對監管機構和其他利益攸關方非常有用。 本文利用Greenwood等人定義的風險度量，考慮了低價出售溢出和投資組合再平衡引起的系統性風險。 通過使用基于交叉熵約束最小化的方法，我們表明，可以評估匯總和單一銀行的系統性和脆弱性，只使用關于每家銀行規模和每項投資資產資本化的信息。 我們還比較了我們的方法與另一種廣泛應用的最大熵原理，允許導出圖形概率分布和生成場景，我們利用它提出了一個統計測試，以改變銀行對系統性事件的脆弱性。

1. 導言

近年來全球經濟陷入困境，兩次嚴重危機（2007年金融市場危機和2010年主權債務危機）使整個經濟體系陷入困境 銀行對系統性事件的脆弱性是學術界越來越多調查的主要焦點。 同時，許多研究工作致力于了解銀行或廣義上的金融機構在創造和傳播系統性風險方面的作用。 鑒于該專題的突出重要性及其多面性，關于系統事件的評價和預期的文獻是巨大的。
有幾個是金融困境可能從一個機構傳播到另一個機構的渠道，最終影響到全球經濟的很大一部分。 由于資產流動性不足和共同投資組合持有而引發的折價銷售溢出無疑是系統性風險的主要驅動因素之一。 共同投資在金融機構之間造成了投資組合的重大重疊。 這種（間接）金融相互關聯是一個重要的傳染源，由于單一市場參與者的部分資產清算預計會影響到與其共同投資的很大一部分其他市場參與者。 折價銷售由于資產流動性有限和市場影響而變動價格，在一個流動性很好的市場里，根本不會有折價銷售的蔓延。 最后，杠桿放大了這種反饋。 杠桿化的機構不斷重新平衡他們的頭寸，加劇了正面（最重要的是）負面資產的價格變化。
因此，對監管機構、決策者和金融市場的其他參與者來說，評估和監測因銷售溢出引起的系統性風險至關重要。 格林伍德等人（2015年）最近推出了一種風格化的折價銷售模式，其中流動性不足、目標杠桿和投資組合重疊是組成部分。 他們利用該模型提出了兩個系統性風險指標：銀行的系統性和脆弱性。考慮到市場沖擊，首先是銀行的困境導致的系統總損失百分比，第二種是銀行在整個系統陷入困境時所經歷的總百分比損失。 為了計算這些數量，需要充分了解所有銀行的投資組合構成，因為銀行的系統性和脆弱性取決于投資組合和其他銀行的杠桿作用。
格林伍德等人（2015年）將其方法應用于2011年7月歐洲壓力測試得出的歐洲銀行管理局數據。 這些數據提供了歐洲聯盟90家最大銀行的詳細資產負債表。 Duarte and Eisenbach (2013)利用公開的美國銀行控股公司資產負債表數據集來應用Greenwood et al. (2015).該框架。 它們得出了總體脆弱性的衡量標準，[.]在2008年秋季達到高峰，但從2005年開始顯著增加，超過了許多其他系統性風險指標。
然而，一般而言，可能無法獲得計算此類系統性風險指標所需的詳細信息。 例如，歐洲壓力測試數據是零星的。 此外，資產負債表數據的抽樣頻率很少高于季度。 因此，一個重要的問題是，在缺乏關于金融中介機構投資組合構成的數據的情況下，是否有可能估計由于折價出售溢出而造成的系統性風險。
文獻中提出了兩種可能的方法。 第一個純粹是計量經濟，通常是基于公開的資產價格和公開報價金融機構的市場權益價值數據。 一般來說，該方法包括估計條件變量，如條件Value-at-Risk或條件預期短落。 計量經濟學方法避免了投資組合持有數據的缺乏，但由于引入了一個強有力的平穩性假設：基于過去信息的估計被認為總是系統未來行為的良好預測因子。 然而，由于全球金融危機的性質，正是在危難時刻，平穩假設可能無法正常工作。 此外，它往往僅限于公開引用的機構，這些機構每天都有股票價值。
本文所遵循的第二種可能的方法是，只使用減少但容易獲得的信息集推斷投資組合持有量的矩陣和/或推導一個問題， 根據某種準則推導投資組合權重的概率分布。這通常是為了召喚最大熵原理，該原理假定(Anand等人，2013年)[.]在已知約束下[.]最能代表的概率分布 這是我們目前的知識，這是最小偏置是一個最大熵。 最大熵的方法，至少可以用兩種不同的方法，我們在下面清楚地區分，在系統性風險研究中并不是新的。 它被廣泛用于推斷銀行間網絡的結構，當只有銀行間借貸總額的數據（加上可能的其他信息）可用。
網絡重建的一部分是熵方法在經濟科學中的廣泛應用。 例如，它在計量經濟學中被廣泛用于概率密度的估計，因為它在這方面有大量的貢獻。 當投資者對現實的概率結構不確定時，為了避免模棱兩可，使用相對熵作為懲罰的一種方式。 在這方面，重要的是要澄清，我們隱含地采用最大熵原理的監管機構（或社會規劃師）觀點，無論是網絡創建背后的決策過程，都只關心對系統性風險的無偏估計。 因此，我們的觀點可以被認為與模糊厭惡文學所采用的觀點是正交的， 在這種意義上，我們對最大熵原則的解密純粹是推理性的，它無意以任何方式模仿銀行創造網絡的決策過程，以及 同時，系統性風險的普遍水平。
本文提出將最大熵方法應用于投資組合權網絡的推理，以估計折價銷售溢出引起的系統性風險的度量。 具體來說，我們展示了當只有部分信息（每家銀行的規模和每項資產的資本化）可用時，如何估計美國商業銀行的間接脆弱性、系統性(由Greenwood等人，2015年定義)和總體系統性風險。 與銀行間研究不同(如Anand等人，2015年；Mastromatteo等人，2012年；Mistrulli，2011年)，我們處理二分網絡，即圖4，其節點可分為兩個完全可分的集合，在我們的例子中，是商業銀行和資產類別。 更具體地說，我們利用聯邦金融機構考試委員會(FFIEC)通過Call Report文件分析了2001-2013年期間美國商業銀行風險敞口季度網絡， 我們計算每個季度每個銀行的系統性和脆弱性以及系統的總脆弱性。 我們將它們與假設銀行資產負債表組成不為人所知的推斷值進行比較。在這個意義上，我們的論文類似于Mistrulli（2011），但適用于由于折價溢出而產生的系統性風險，而不是銀行間網絡中的級聯，與銀行間案例不同，我們發現新引入的最大熵方法在評估部分信息被利用時，由于折價溢出而導致的系統性風險時非常準確。
本文的貢獻主要分為兩部分。 首先，遵循一種在學術機構和中央銀行的研究人員中廣泛傳播的做法(see, among others, Mistrulli, 2011; Sachs, 2014; Sheldon and Maurer, 1998; Upper and Worms, 2004; Wells, 2004), 我們重建投資組合持有量的矩陣， 從最初的猜測使交叉熵最小化。 盡管這種方法通常被稱為最大熵，或矩陣平衡，為了避免與下面討論的不同方法混淆，我們將其稱為交叉熵。 我們表明，這種方法在我們的情況下做得很好，提供了由Greenwood等人定義的系統風險度量的無偏估計（2015）。 此外，我們還表明，重構矩陣與資本資產定價模型所隱含的矩陣相對應，因此具有明確的經濟意義。
其次，我們將交叉熵與熵最大化的不同方法進行了比較， 它允許通過在適當的約束下最大化熵來定義圖（集合）的概率質量函數，其中一些平均量被設置為等于數據中觀察到的量。盡管這種方法的經濟直覺比以前的方法不那么尖銳，但該方法在文獻中很普遍，并且允許執行場景生成。 我們提出了一個新的集合，稱為MECAPM，它(I)滿足一組經濟動機的約束；（二）其行為與前面提出的交叉熵法一樣平均；（三）允許情景生成，可能有助于監督當局檢驗某一特定機構是否增加了過去的系統性。
我們的論文結構如下。 第2節介紹了一些術語，并簡要描述了Greenwood等人的風險度量（2015）。 第3節討論了FFIEC提供的美國商業銀行數據集。 第4節中，我們提出了交叉熵法，并給出了它在系統風險估計中的性能。 第5節中，我們比較了交叉熵法和最大熵替代法，它導出了圖的概率分布。 除其他外，這有助于對中央銀行和其他監管機構的監督活動進行統計測試。 最后，第6節總結了本文的主要貢獻。 附錄提供了關于銀行組合持有量數據集的構建和所有分析計算的補充信息。

2. 系統性風險指標：脆弱性和系統性

在本文中，我們使用了一些由于折價銷售系統風險的指標，這是最近由Greenwood等人介紹（2015）。 它們考慮由$N$個銀行和$K$個資產類別組成的系統。 投資組合持有量由$N\times K$矩陣$X$描述，其元素$X_{n,k}$是銀行$n$持有的$k$型資產的美元金額。 因此，相應的投資組合權重矩陣為

在下面，我們引入了$X$元素的離散化，使得矩陣$X$屬于$N\times K$整數值矩陣的空間$N^{N\times K}$。 在實證應用中使用數據集的數級為$10^3$。
第$n$銀行的總資產規模$A_n$和第k資產類別的總資本$C_k$很容易分別計算為公式中矩陣$X_{n,k}$的總行和列和，

其中我們明確表示了$A_n$和$C_k$對X的依賴性。方陣X可以自然地與二部網絡相關聯，i.e. 頂點可被劃分為兩個不相交的集合，使得每個邊將一個集合中的頂點連接到另一個集合中的頂點。
有關每家銀行的資產負債表n的相關信息是總股本，從中可以計算出杠桿率為

最后，每個資產類別的特征是一個非流動性參數$l_k,k=1,...,K$，定義為資產k每美元凈購買的回報率。 此設置用于Greenwood等人（2015年）界定系統風險的三個指標，捕捉折價銷售對資產價格沖擊的影響。這是由K維向量$?\epsilon =(?{\epsilon }_1，...，?{\epsilon }_K)$描述的，其組成部分是資產的沖擊。

綜合脆弱性 AV作為[.]總銀行股本的百分比，將被銀行去杠桿化，如果資產回報有沖擊[.]。
銀行系統性 $S_n$作為銀行n對綜合脆弱性的貢獻。
銀行的間接脆弱性 $I{V}_N$是[.]沖擊通過其他銀行的去杠桿化對其股本的影響。

通過假設銀行遵循杠桿瞄準的做法，并且為了應對負面資產沖擊，它們將資產按沖擊前資產組合持有量的比例出售，Greenwood et al. (2015)表明$S_n$可以分解為

其中E是總股本，$r_n$是向量$r=W\epsilon$的第n個元素，即由于沖擊ε，銀行n的投資組合回報，

綜合脆弱性的計算如下：

銀行的間接脆弱性是

在下面的內容中，我們經常假設，如在Duarte和Eisenbach（2013）中，所有k=1，…，K的${\epsilon }_k=1\%$，這反過來意味著在Eq（2)和(4）中$r_n=1\%$。 然而，請注意，如果所有資產都被相同的數額所沖擊，我們的結果就不依賴于它，因為系統性風險測度只會有不同的前因素。 在4.1.1節中，我們考慮其他沖擊場景來測試我們方法的魯棒性。 最后，我們將所有資產類別的流動性參數設置為$l_k=10^{?10}$，但現金除外，我們將$l_k=0$(如Duarte和Eisenbach，2013；Greenwood等，2015)。 作為最后的評論，應該指出(Greenwood等人，2015年)對這個問題又增加了兩個限制。第一，當一家銀行的直接損失超過其股本時，銀行就會清算所有資產。 第二，杠桿上限為30。 在我們的實證調查中，我們遵循了(Duarte和Eisenbach，2013年)，他們沒有添加這些約束。 然而，我們已經比較了美國銀行系統的總體脆弱性（使用的數據見下一節）在這兩個模型規范下。 我們發現，這一差異不到1%，除了2009年底左右的幾個季度達到10%。
重要的是要強調Greenwood et al. (2015)等估計系統風險指標的方法基本上是靜態的。 由于壓力測試是標準的，因此考慮了給定時間的價格變化，然后，考慮到當時平衡銀行的資產負債表和投資組合組成，計算了去杠桿化和折價銷售的后果。 因此，在方法中從未使用過資產負債表或價格上的過去信息（即使有）。 這當然是一個限制，因為在某一季度如何去杠桿化的決定在現實中也取決于過去的市場價格行為以及最后一個季度的去杠桿化。 這種擴展雖然有趣，但超出了Greenwood（2015）模型等的范圍以及絕大多數應力測試方法。 它需要選擇價格變動超過一個季度的情況，并且能夠將由于過去去杠桿化的根本原因導致的價格變動分開，動態應力測試的定義顯然超出了我們論文的范圍，我們將堅持標準的靜態應力測試方法。與Duarte和Eisenbach（2013）一樣，在下面的經驗應用中，我們將考慮對每個可用季度進行壓力測試，丟棄來自過去季度的所有信息。 因此，即使我們顯然正在處理長度為$t$的投資組合的時間序列，事實上，我們正在重復$t$倍（靜態）壓力測試。
在下一節中，我們將介紹我們在分析中使用的數據集來度量系統風險，這是Greenwood等人的度量所捕獲的。 （2015年），在美國銀行業。 這樣的數據集使我們能夠對系統性、總體性和間接脆弱性進行季度估計，將這些估計與從交叉熵方法和最大熵原理推斷的估計進行比較。由于我們必須同時處理真實的和重建的（或從統計集合中采樣的）網絡，從現在開始，我們遵循慣例，在任何變量$x$中添加一個上標$x^{?}$，指的是一個真實的（觀察到的）網絡，而變量x在沒有上標的情況下表示每次它被引用到重建的網絡時。

3. Data

美國所有受監管的金融機構都必須向其現任監管機構提交定期財務信息。 聯邦金融機構審查委員會是負責收集和維護我們分析中使用的數據的監管機構。我們調查的金融機構是商業銀行和儲蓄貸款協會。FFIEC正式將商業銀行定義為：“一家由股東擁有、以盈利為目的經營和從事各種貸款活動的金融機構”。FFIEC要求商業銀行每季度提交一份狀況和收入綜合報告，通常稱為Call Report， 每家銀行必須填寫一份表格，詳細說明其財務狀況，特別是資產負債表。具體的報告要求取決于銀行的規模以及銀行是否有外國辦事處。FFIEC031表格用于國內（美國）和國外（非美國）的銀行，FFIEC041表格中的辦事處僅為國內辦事處的銀行設計。儲蓄和貸款協會是一個金融機構，主要接受個人存款，并將其資金主要流入住宅抵押貸款。從2012年第一季度起，所有儲蓄和貸款協會都必須提交相同的報告，因此自那時以來，這些報告被列入數據集。

自1986年以來，Call報告提供的數據是公開的，盡管多年來表格發生了很大變化，顯示所要求的詳細資料越來越多。 為了在數據的精細結構和人口合理的統計數據之間達成良好的妥協，我們考慮了從2001年3月到2013年9月的時間，共計55個季度。數據中的金融機構數量在季度期間相當穩定，從第一季度的大約9000個實體開始，到最后一個季度的大約6500個實體結束。資產類別是作為前后一致的代碼總和創建的。 我們描述了在附錄A中形成資產類別所采用的程序以及一些數據統計。 特別是，根據Duarte和Eisenbach（2013）的原理，我們在一組20個資產類別中匯總數據，即20個資產類別中的每一個類別都以這樣的方式組合，以便在出現一個折價出售屬于特定類別的資產，價格影響將主要限于同一類別的資產。 換句話說，假設兩個不同資產類別的共同流動性（或交叉影響）可以忽略不計是合理的。 用于構建網絡的20個宏資產類別在附錄A的表2中描述，其中還詳細記錄了它們是如何形成的。在圖的左側面板中。 我們展示了總資產價值是如何集中在頂級銀行的。 圖的右側面板 1顯示前七類資產的相對重要性（以總資本化計算），顯示總資本的很大一部分是由于由國內辦事處的房地產擔保的貸款。

我們在左邊的面板中報告了在不同顏色的陰影區域被前10名、前100名、前1000名和剩余銀行持有的總資產的百分比。總資產的很大一部分由前十大銀行控制。 在右側的面板中，我們報告每個季度前七大資產類別（以資本化計算）總資本化。 資產資本化總額的很大一部分是由于國內辦事處的不動產擔保貸款。

總之，對于每個季度，我們能夠構造一個矩陣X的銀行控股，其元素Xn，k是第n銀行在kth資產類別中投資的總美元。必須注意的是，矩陣X有大約50%的零項。 因此，網絡相對密集，但遠未完全連接。 簡單地說，典型銀行的投資組合 數據集不包含所有20個資產類別的投資。

4. 系統風險評估的交叉熵方法

交叉熵是一種方法，主要是由中央銀行的學者和研究人員采用的，用于從對其性質的部分知識中重建目標矩陣（作為銀行間矩陣）。其思想是為矩陣選擇一個先驗猜測，然后在某些約束條件下找到它最接近的矩陣。 在最簡單的情況下，這種約束是矩陣的非負性條件元素和總行和列和。 最后，作為猜測和目標矩陣之間最小化的距離的度量，使用Kullback-Leibler散度（也稱為相對熵）。
就美國商業銀行的銀行控股制度的具體情況而言，我們認為每個季度只有第n家銀行的總資產規模$A_n^{?}$和k類資產總資本化$C_k^{?}$信息， 交叉熵方法將目標矩陣X導出為解決優化問題的目標矩陣X

其中$X_{n,k}$是給定猜測矩陣的元素。 請注意，在銀行間借貸文獻中分析的案例(Mistrulli，2011)通常有一個額外的約束，即對角線元素消失，這是避免單一機構自我借貸的必要條件。 這里分析的投資組合持有量矩陣不需要任何這樣的限制。我們建議使用資本資產定價模型(CAPM)來形成一個經濟動機的初步猜測。 在一個標準的CAPM中，投資者選擇他們的投資組合的方式是，每個權重在一個該股票市值相對于所有股票總市值的比例。 由于$A_n^{?}$是第n銀行的總資產規模，并且由于所有股票的總市值由$L^{?}={\sum }_{k=1}^K{C}_k^{?}$給出，CAPM預期的投資組合權重由

請注意，這種初始猜測的選擇與Mistrulli（2011）中用于銀行間市場的相同，即使在這種情況下，CAPM的解釋也不那么直接。 考慮到在（5）中，對角線元素的條件是不存在的，并且由于Kullback-Leibler發散總是正的， 當${\overline{X}}_{n,k}=X_{n,k}^{CAPM}$時，（5）中交叉熵問題的最優解是$X_{n,k}^{CAPM}$本身。 區分估計量與資本資產定價模型(Sharpe，1964)， 我們將調用前交叉熵CAPM(CECAPM)估計器。 請注意，由于所研究的網絡的二部性質，我們不必使用數字例程來解決問題（5）。如果將其他約束添加到問題中(例如， 一些銀行不能投資于某些資產類別)，可以用數值方法解決（5）具有額外約束的問題。

4.1. 評估總體脆弱性

我們現在實證檢驗交叉熵方法在估計數據上的總脆弱性時的有效性。
圖3比較了利用投資組合組成的真實矩陣得到的綜合脆弱性的真實值和用交叉熵法得到的聚合脆弱性的真實值。 顯然，CECAPM提供的AVS估計與真實的AVS非常一致，盡管真實的投資組合矩陣與CECAPM完全不同， 在前者中，大約一半的矩陣元素為零，而后者的模型具有所有非消失元素的鄰接矩陣。
圖3的一個重要含義是至少對于所分析的數據集，沒有必要知道矩陣$X^{?}$以評估以總脆弱性衡量的系統性風險。 對銀行規模和資產資本化的了解足以推斷矩陣$X_{n,k}^{CAPM}$，它很好地再現了系統的總體行為（在系統性方面）。 這與Mistrulli（2011）對銀行間網絡的結果不同，因為他發現交叉熵方法大大低估了系統性風險，而在我們的情況下，則是偏差是微不足道的。

4.1.1. 對不同沖擊場景的魯棒性

通過假設所有資產類別的均勻沖擊為1%，對AV進行了估計和重建。 然而，我們的結果對其他沖擊場景也是穩健的。 為證明這一點，我們重復了上述分析，考慮到其他情況，即：為證明這一點，我們重復了上述分析，考慮了其他情況，即：（一)房地產貸款受到50%的沖擊(2個資產類別)；(二)所有貸款受到10%的沖擊(8個資產類別)；(三）抵押貸款支持證券（1類資產）受到50%的沖擊；(四）美國國債遭受10%的沖擊，國家和地方政府發行的代理證券、證券（3類資產）。由此產生的綜合脆弱性與實際數據和估計與CECAPM如圖4所示。 在所有情況下，CECAPM估計都非常密切地跟蹤從投資組合組成的全部知識中獲得的AV。 因此，我們的結論是，我們的結果不是由于均勻的沖擊假設，而是更普遍適用。

4.1.2. 歐洲銀行管理局的數據

我們現在表明，我們的結果也適用于不同的銀行系統。為此，我們調查了歐洲銀行管理局(EBA)在2011年對當時最大的90家歐洲銀行進行壓力測試后提供的公共數據集。 這些數據包括每家銀行對42個資產類別的敞口，以及它們的賬面杠桿。 我們定義了資產類別，精確地遵循Greenwood（2015）等人。此外，最初的沖擊是(Greenwood等，2015)“50%的GIIPS債務注銷”。 對于美國商業銀行，我們比較了從全網絡數據獲得的AV與使用CECAPM獲得的AV。 使用部分信息估計的AV的相對百分比偏差為3.7%.作為一項穩健性檢查，我們重復了兩種不同的沖擊：一是注銷所有歐盟債務或所有主權債務，包括非歐盟國家的10%。在前一種情況下，CECAPM估計的百分比偏差為3.6%，后者為5.1%。 顯然，對于這個數據集，CECAPM給出了AV的忠實估計，因為偏差約為3%? 5%，顯示了該方法的魯棒性。

4.2.評估個別銀行的系統性風險

5.與最大熵集的比較

上一節中描述的交叉熵方法假設未知矩陣元素是那些與先驗矩陣的距離最小(由交叉熵函數表示)。在這種方法中，可用的經濟信息，在上述具體情況下，由An和Ck的數量組成，用于根據經濟直覺構建猜測。
一個不同的基本原理構成了最大熵集成方法的基礎。這種重建方法假設，作為部分信息環境下的標準，未披露的數據(在我們的例子中，銀行的投資組合持有量$X_{n,k}$是由未知統計分布產生的隨機變量。 在所有可能的概率分布中，ME方法等于采取最大限度地利用在最大化過程中施加的經濟約束的信息內容的概率分布。這一性質直接來自香農(1948)的開創性論文中對信息的定義。
我們將網絡統計模型定義為一組網絡X，稱為集合，概率質量函數$P?$由模型參數向量$?$索引。 在公式中，它表示為三重態
$$\{P?，X，?\in Z\}$$其中Z是$R^P$的凸子集，P是模型的參數總數。集合X是一個可數集合，其元素是圖。在下文中，我們將不區分圖和相關矩陣X，即概率質量函數是在整數值矩陣的空間中定義的。此外，概率質量函數$P?:X\to [0,1]$使得${\sum }_{X\in X}{P}_{?}(X)=1$，并且允許依賴于真實參數$?\in Z$的向量。通過顯式給出集合、概率質量函數以及參數的空間Z，或者通過循環應用某種生成機制或規則，或者從空圖開始或者通過對參考圖應用隨機化過程，導出$P_{?}[X]$，可以定義模型。在其最一般的公式中，最大熵原理假設通過最大化香農熵的函數獲得概率質量函數P，

受規范化約束

以及，可能的話，進一步的額外限制。

施加約束有兩種方式。第一種稱為微正則系綜，嚴格地施加約束，即只有滿足所有約束的圖具有非零概率。在第二種稱為典型系綜的圖中，所有的圖都具有非零概率，并且在分布上平均滿足約束。這兩種方法都有優點和缺點。微正則系綜在經濟上更有根據，例如，在本文研究的系統中，它意味著只有當每個銀行(資產類別)具有與真實數據相同的資產規模(資本化)時，給定的網絡實現才有非零概率。相反，在正則系綜中，這些值與真實數據非常不同的圖形也可能具有非零概率。盡管存在這種不良性質，我們認為基于以下原因，交叉熵方法與規范ME進行比較是值得的:

解決微正則系綜中的問題通常非常困難，或者需要大量的數值模擬，通過允許保留所有約束的移動來隨機化網絡。相反，正則系綜通常可以更直接地獲得，正如它們在統計力學中的廣泛應用所證明的那樣(黃，2008)。此外，當優化問題中加入其他約束時，微正則ME(以及交叉熵)變得難以處理，從而限制了它們在監管者希望增加系統額外知識時的實際應用。

規范ME的靈活性允許探索信息集和約束在網絡重構中的相對作用。例如，我們將在下面展示，使用相同的信息集(強度序列)但不同的約束條件會導致系統風險估計的非常不同的性能，表明其主要決定因素。

CECAPM在系統風險評估方面的出色表現要求構建一個網絡概率分布，該分布的平均性能與CECAPM相當，但允許生成場景。我們將在下面介紹的規范微機電集成(MECAPM)正是做這項工作。

最后但并非最不重要的一點是，在經濟和金融領域，規范的市場經濟網絡集合的應用非常廣泛。

5.1 最大熵集合

在這篇論文中，我們將考慮三個ME集合。首先，我們提出了一個新的最大熵集成，它是基于CAPM在當前問題中的作用。概率質量函數P是最優化問題的解

我們稱這個模型為最大熵資本資產定價模型。在附錄B.1我們證明了具有唯一解

因此，每個矩陣元素$X_{n,k}$都是幾何分布的，平均值為$X_{n,k}^{CAPM}$。為了理解這一集合背后的基本原理，我們注意到在資產收益的一致沖擊下，資產凈值的CECAPM和MECAPM估計之間有一個有趣的關系。如附錄D所示，

其中，$E[S_n(X)]$是MECAPM集合下的銀行n的預期系統性，而$S_n(X^{CAPM})$是根據CECAPM的系統性。我們注意到前者比后者大，但是如果A遠小于L的話，修正是小的，因為括號中的最后一項通常是小的。這一結果也可用于計算無采樣但使用上述表達式的MECAPM系綜中的系統度和AV。間接脆弱性也有類似的結果(詳見附錄D)。

由于最大熵的其他規格在網絡重構的文獻中相當流行，為了進行比較，我們考慮了另外兩個集合，主要受Mastrandrea等人(2014年)和Saracco等人(2015年)論文的啟發。它們中的每一個都以對香農熵最大化施加的不同約束為特征。
在第一個集合中，稱為二分加權配置模型，約束最大化是

附錄B.2報告了系綜的推導和校準。請注意，BIPWCM對MECAPM施加了較弱的約束，同時利用了相同的信息集，即強度序列。
最后，我們考慮另一個(更豐富的)統計系綜，其概率質量函數，在附錄B.3中導出，在我們的二分框架中對應于Mastrandrea等人(2014)的增強配置模型。這個新定義的集合，我們稱之為二分增強配置模型(BIPECM)，是通過最大熵將強度的平均值(如BIPWCM)和度的平均值(即每個頂點的邊數)相加而得到的。換句話說，我們通過假設知道每家銀行投資的資產數量以及投資每項資產的銀行數量來重建矩陣。盡管這個信息通常是未知的，但我們認為這個集合表明，即使一個信息集比MECAPM中使用的信息集大得多，也很難超越它。從數學上來說，通過求解優化問題就可以得到雙目標規劃模型。

其中，$Dro{w}_n$和$Dco{l}_k$分別是行和列的度數序列(詳見附錄B.3)。BIPECM的特點是增加了在BIPWCM和MECAPM中都不存在的度序列信息。請注意，這三個集合不僅可用于統計推斷，還可用于對網絡上定義的任何函數進行估計，這是下一節的主題。

5.2.結果

圖3將通過使用投資組合的真實矩陣獲得的聚集脆弱性的真實值與通過熵方法獲得的值進行了比較。很明顯，所有的方法在質量上很好地跟蹤了在調查期間AV的時間模式，但值得注意的是，“CECAPM”有一個非常小的偏差，提供的AV的估計與真實的非常一致。正如從上面的論證中所預期的，在“MECAPM”下的AV總是比在CECAPM下稍大。
在最大熵方法中，“MECAPM”優于“BIPWCM”和“BIPECM”。由于導出BIPECM所需的信息集大于MECAPM所用的信息集，這意味著重要的不是信息量，而是信息在重構算法中的傳遞方式。最后，請注意，真正的投資組合矩陣與CECAPM、MECAPM和BIPWCM的矩陣有很大的不同，因為前者的矩陣元素為零，而后者的模型具有所有非消失元素的鄰接矩陣。
通過考慮不同的沖擊情景，類似的比較結果成立，如第4節(見附錄C的圖8)以及歐洲銀行管理局數據(見表1)中所研究的。在最大熵方法中，MECAPM在對銀行投資組合構成的充分了解下獲得的資產凈值的估計上明顯優于BIPWCM和BIPECM。


最后，我們考慮了對單個銀行系統風險的評估。附錄C的圖9顯示了每季度BIPWCM嚴重低估了個別銀行的系統性和間接脆弱性。中值相對誤差范圍大致在60%至70%之間，四分位數之間的范圍非常遠離零。基于BIPECM的估計器(使用關于度數的附加信息)給出稍微更好的結果，即使仍然存在強烈的低估。中值相對誤差范圍大致在50%至40%之間，四分位數之間的范圍也遠非零。相反，基于MECAPM(或CECAPM)的估計器性能更好。中值相對誤差絕不會低于20%，并且四分位數之間的范圍幾乎總是以零為中心。

總之，由CECAPM隱含矩陣提供的每個銀行的系統性和間接脆弱性的估計值與在MECAPM集合上獲得的相應期望值幾乎相同。此外，它們令人滿意地精確，并且肯定比標準最大熵集合提供的更可靠。重要的信息是，在不完全了解金融機構的投資組合的情況下，由于折價銷售溢出效應，有可能在總體或單個機構層面實現對系統風險指標的相當準確的估計。

5.3 監控和測試系統的變化

作為用最大熵方法獲得的圖的集合的另一個應用，我們在這里考慮評估給定銀行(或整個系統)的系統性是否以統計上顯著的方式改變的問題。為了回答這個問題，有必要有一個零假設，我們建議使用網絡集成來達到這個目的。由于MECAPM在估計風險度量方面顯示出優越的性能，在本節中，我們使用它并提出了一個統計驗證的可能應用。我們在這里的目標不是研究所有的銀行和所有的季度，而只是展示如何實施測試方法。特別是，想象一個監管者監控一家特定的銀行，測量其系統性，并尋找大幅增長的證據。以給定的季度為參考，監管機構可以提取銀行系統性的分布，并在隨后的季度中，確定系統性何時超出參考期周圍的給定置信區間。作為特殊情況，我們在第一季度的前50家銀行中選擇4家銀行，它們存在于整個時間段(即它們不退出數據集)。對于每個季度，我們根據MECAPM集成計算真實的銀行系統和5%–95%的置信帶(見圖6)。然后，當真正的系統性高于第一季度的95%置信區間時，我們在每個季度添加一個洋紅色方塊作為參考。因此，當銀行的系統性在統計上比2001年初更大時，洋紅色的正方形表示一個季度。

我們顯示了觀察到系統性有統計學顯著變化的兩個銀行(上一行)和沒有觀察到變化的兩個銀行(下一行)。值得注意的是，對于前一個案例，我們發現在2007-2008年金融危機爆發之前，被分析銀行的系統性顯著提高。這種現象在整個危機期間持續存在，直到2009年底才消失。這表明，網絡統計模型在中央銀行和其他監管機構作為監測工具的監督活動中以及在構建預警指標方面可能有寶貴的幫助。

6. 結論

在本文中，我們集中討論了在金融機構投資組合構成信息有限的情況下，因火災銷售溢出而導致的系統風險的度量問題。對經濟中每個機構的投資組合持有情況的全面了解通常要求對任何風險指標進行精確估計，如Greenwood等人(2015年)所建議的那樣，這些風險指標是基于通過甩賣進行投資組合再平衡的機制。然而，如此龐大而詳細的信息可能無法獲得，尤其是頻率高于季度的信息，這使得系統風險的估計相當困難。在本文中，我們通過提供基于系統部分知識的系統風險度量的準確估計來規避這個問題，更準確地說，僅基于資產負債表的規模和資產(或資產類別)的資本化，這更容易追蹤。在這方面，我們已經表明，該方法交叉熵最小化在估計總體脆弱性和個體銀行系統性方面做得非常好，而不需要任何關于銀行投資組合持有量的基礎矩陣的知識。此外，我們還將結果與最大熵集合進行了比較。具體來說，我們引入了一個新的集合(MECAPM)，該集合平均地再現了CECAPM，并且在估計單個機構的系統性和間接脆弱性方面表現相當好，優于標準的最大熵競爭對手。此外，系統風險度量的估計可以為任何決策者提供有價值的信息，但是在缺乏統計驗證的情況下，系統性和間接脆弱性的變化很難解釋。因此，作為最后的貢獻，我們建議使用最大熵集合來評估系統風險度量的統計顯著性。在我們數據集的精選銀行中，我們記錄了它們的系統性顯著增加，與2001年初觀察到的水平相比，遠在2007-2008年金融危機爆發之前。即使在這方面需要更深入的調查，我們相信這種方法可以很容易地作為系統風險的早期預警指標。
最后，我們想再次評論一下格林伍德等人(2015)模型的范圍以及我們的論文。如同在正文中討論過，所考慮的方法屬于經典的靜態應力測試方法。僅使用測試沖擊時的投資組合和資產負債表，從未考慮跨期動態。這是一個嚴重的限制，因為金融危機和去杠桿化可能會持續更長時間，銀行在特定季度的決策不僅取決于當前的價格變化和投資組合構成，還取決于過去的市場狀況和銀行行為。我們認為，將Greenwood等人(2015年)的方法擴展到動態壓力測試環境，對于學者和監管者來說都是一個非常有趣的研究途徑。

總結

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