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【Paper】2006_Time-Optimal Control of a Hovering Quad-Rotor Helicopter

發布時間：2025/4/5 编程问答 15 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了【Paper】2006_Time-Optimal Control of a Hovering Quad-Rotor Helicopter 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

Lai L C, Yang C C, Wu C J. Time-optimal control of a hovering quad-rotor helicopter[J]. Journal of Intelligent and Robotic Systems, 2006, 45(2): 115-135.

文章目錄

1. Introduction
2. Dynamical Equations of a Quad-Rotor Helicopter

1. Introduction

2. Dynamical Equations of a Quad-Rotor Helicopter

為了說明直升機的運動，如圖 1 所示給出了一個示意圖。在直升機的工作空間內，定義世界坐標系和機體坐標系。世界坐標系表示一個所有討論都可以參考的坐標系，而機體坐標系是一個附加到直升機上的坐標系。為了保持四旋翼直升機的懸停飛行，將四個驅動力 $F_i, i = 1,2,3,4$ 的大小分別調整為最初直升機重量的四分之一。通過同時改變四個轉子的轉速，可以實現機體沿 $z$ 軸的垂直運動。通過反向改變1號和3號轉子的轉速，保持2號和4號轉子的轉速，可以實現機體沿 $x$ 軸方向的向前運動。反向改變2號和4號轉子的速度，保持1號和3號轉子的速度，可實現機體沿 $y$ 軸的橫向運動。偏航運動與轉子產生的力矩之間的差異有關。為順時針旋轉，轉子2和4應提高速度，以克服轉子1和3的速度。另一方面，若要逆時針旋轉，轉子3和1應提高轉速，以克服轉子2和4的轉速。表1總結了本文使用的符號命名。

根據歐拉角可以得到世界坐標系與機體坐標系之間的旋轉變換矩陣。

$REB=[cos?θcos?ψsin?θcos?ψsin???sin?ψcos??sin?θcos?ψcos??+sin?ψsin??cos?θsin?ψsin?θsin?ψsin???cos?ψcos??sin?θsin?ψcos???cos?ψsin???sin?θcos?θsin??cos?θcos??](1)R_{EB} = \left[\begin{matrix} \cos\theta \cos\psi & \sin\theta \cos\psi \sin\phi - \sin\psi \cos\phi & \sin\theta \cos\psi \cos\phi + \sin\psi \sin\phi \\ \cos\theta \sin\psi & \sin\theta \sin\psi \sin\phi \red{-} \cos\psi \cos\phi & \sin\theta \sin\psi \cos\phi - \cos\psi \sin\phi \\ -\sin\theta & \cos\theta \sin\phi & \cos\theta \cos\phi \\ \end{matrix}\right] \tag{1}$

原文中是上式，應該有個符號錯誤（紅色處），正確的應該如下
$REB=[cos?θcos?ψsin?θcos?ψsin???sin?ψcos??sin?θcos?ψcos??+sin?ψsin??cos?θsin?ψsin?θsin?ψsin??+cos?ψcos??sin?θsin?ψcos???cos?ψsin???sin?θcos?θsin??cos?θcos??](1)R_{EB} = \left[\begin{matrix} \cos\theta \cos\psi & \sin\theta \cos\psi \sin\phi - \sin\psi \cos\phi & \sin\theta \cos\psi \cos\phi + \sin\psi \sin\phi \\ \cos\theta \sin\psi & \sin\theta \sin\psi \sin\phi + \cos\psi \cos\phi & \sin\theta \sin\psi \cos\phi - \cos\psi \sin\phi \\ -\sin\theta & \cos\theta \sin\phi & \cos\theta \cos\phi \\ \end{matrix}\right] \tag{1}$

然后得到機體坐標系與世界坐標系之間的速度變換
$[uvw]=REB[uBvBwB](2)\left[\begin{matrix} u \\ v \\ w \\ \end{matrix}\right] =R_{EB} \left[\begin{matrix} u_B \\ v_B \\ w_B \\ \end{matrix}\right] \tag{2}$

類似地，加速度、旋轉速度、位置、力和力矩都可以基于 $R_{EB}$ 在坐標系之間轉換。

在機體坐標系中，力被定義為
$FB=[FxBFyBFzB]=[00∑k=14Fk](3)F_{B}= \left[\begin{matrix} F_{xB} \\ F_{yB} \\ F_{zB} \\ \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \sum_{k=1}^{4} F_k \\ \end{matrix}\right] \tag{3}$

在世界坐標系中，力可以描述為
$[FxFyFz]=REB?FB=(∑k=14Fk)[sin?θcos?ψcos??+sin?ψsin??sin?θsin?ψcos???cos?ψsin??cos?θcos??](4)\begin{aligned} \left[\begin{matrix} F_{x} \\ F_{y} \\ F_{z} \\ \end{matrix}\right]= R_{EB} \cdot F_B = (\sum_{k=1}^{4} F_k) \left[\begin{matrix} \sin\theta \cos\psi \cos\phi + \sin\psi \sin\phi \\ \sin\theta \sin\psi \cos\phi - \cos\psi \sin\phi \\ \cos\theta \cos\phi \\ \end{matrix}\right] \end{aligned} \tag{4}$

因此，UAV在世界坐標系中的移動方程為
$\left[\begin{matrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \\ \ddot{z} \\ \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} F_{x} - K_1 \cdot \dot{x} \\ F_{y} - K_2 \cdot \dot{y} \\ F_{z} - mg - K_3 \cdot \dot{z} \\ \end{matrix}\right] \tag{5}$

這里 $K_i, i= 1,2,3$ 是阻力系數。注意，這些系數在低速時可以忽略不計。

因此，可以根據力和力矩的平衡推導出運動方程。

$?¨=l(F3?F1?K4?˙)Ix(6)\ddot{\phi} = \frac{l (F_3 - F_1 - K_4 \dot{\phi})}{I_x} \tag{6}$

$θ¨=l(F4?F2?K5θ˙)Iy(7)\ddot{\theta} = \frac{l (F_4 - F_2 - K_5 \dot{\theta})}{I_y} \tag{7}$

$ψ¨=(M1?M2+M3?M4?K6ψ˙)Iz(8)\ddot{\psi} = \frac{(M_1 - M_2 + M_3 - M_4 - K_6\dot{\psi})}{I_z} \tag{8}$

這里 $l$ 無人機重心到各旋翼的長度， $M_i, i=1,2,3,4$ 是旋翼的力矩， $I_x, I_y, I_z$ 表示 $x, y, z$ 方向的慣性矩。用 $F_1, F_2, F_3, F_4$ 來表示，（8）可以改寫成

$ψ¨=(F1?F2+F3?F4?K6′ψ˙)Iz′(9)\ddot{\psi} = \frac{(F_1 - F_2 + F_3 - F_4 - K_6^{'} \dot{\psi})}{I_z^{'}} \tag{9}$

這里 $I_z^{'} = I_z /C, K_6^{'}=K_6/C$ ， $C$ 是一個縮放因子。

為方便計算 TOMP 問題，將輸入定義為
$u1=F1+F2+F3+F4u2=?F2+F4u3=?F1+F3u4=F1?F2+F3?F4(10)\begin{aligned} u_1 =& F_1 + F_2 + F_3 + F_4 \\ u_2 =& - F_2 + F_4 \\ u_3 =& - F_1 + F_3 \\ u_4 =& F_1 - F_2 + F_3 - F_4 \\ \end{aligned} \tag{10}$

輸入可以表示成矩陣的形式
$[u1u2u3u4]=[11110?101?10101?11?1][F1F2F3F4](11)\left[\begin{matrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} F_1 \\ F_2 \\ F_3 \\ F_4 \\ \end{matrix}\right] \tag{11}$

那么單個的力將是
$[F1F2F3F4]=14[10?211?20?11021120?1][u1u2u3u4](12)\left[\begin{matrix} F_1 \\ F_2 \\ F_3 \\ F_4 \\ \end{matrix}\right]= \frac{1}{4} \left[\begin{matrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ \end{matrix}\right] \tag{12}$

因此，得到了四旋翼直升機的動力學方程

$x¨=(sin?ψsin??+cos?ψsin?θcos??)u1?K1x˙m(13)\ddot{x}= \frac{(\sin \psi \sin \phi + \cos \psi \sin \theta \cos \phi) u_1 - K_1 \dot{x}}{m} \tag{13}$

$y¨=(sin?ψsin?θcos???cos?ψsin??)u1?K2y˙m(14)\ddot{y}= \frac{(\sin \psi \sin \theta \cos \phi - \cos \psi \sin \phi) u_1 - K_2 \dot{y}}{m} \tag{14}$

$z¨=(cos??cos?θ)u1?K3z˙m?g(15)\ddot{z}= \frac{(\cos \phi \cos \theta) u_1 - K_3 \dot{z}}{m} -g \tag{15}$

$?¨=(u3?K4?˙)lIx(16)\ddot{\phi} = \frac{(u_3 - K_4 \dot{\phi})~ l}{I_x} \tag{16}$

$θ¨=(u2?K5θ˙)lIy(17)\ddot{\theta} = \frac{(u_2 - K_5 \dot{\theta}) ~l}{I_y} \tag{17}$

$ψ¨=(u4?K6′ψ˙)Iz′(18)\ddot{\psi} = \frac{(u_4 - K_6^{'} \dot{\psi})}{I_z^{'}} \tag{18}$

對于懸停飛行，速度和橫搖角、俯仰角和偏航角必須為零，且四個驅動力為 $F1(0)=F2(0)=F3(0)=F4(0)=mg4F_1(0)=F_2(0)=F_3(0)=F_4(0)=\frac{mg}{4}$ 。將這些條件代入式（13）至式（18），可以發現將產生零加速度。

上一句話進一步驗證了公式推導的是正確的。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【Paper】2006_Time-Optimal Control of a Hovering Quad-Rotor Helicopter的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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