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代碼地址：https://github.com/Jichao-Zhao/MAS_CooperativeClusterMotionControl

第11章-基于鄰居相關(guān)狀態(tài)的多智能體非合作行為檢測與隔離

• • 11.1 研究背景
  • 11.2 基于鄰居相關(guān)狀態(tài)的非合作行為檢測
  • • 11.2.1 問題描述
    • 11.2.2 非合作行為檢測模型的構(gòu)建
    • • • 引理11.1 (零點(diǎn)的傳輸阻塞定理)
        • • 輸入模態(tài)
          • 自由模態(tài)
        • 定理11.1
        • • 傅里葉分解
        • 引理11.2 (PBH 秩判據(jù)定理)
        • 推論11.1
        • 定理11.2
        • 定理11.3
    • 11.2.3 非合作行為檢測算法的設(shè)計(jì)
    • • • 1. 非合作信號重構(gòu)算法
        • • 切比雪夫不等式
    • 11.2.4 數(shù)值仿真
    • • • 1. 單純的通信和達(dá)到一致
        • • 注意：因?yàn)樘^復(fù)雜因此暫時(shí)未采用書中給出的控制協(xié)議
        • 2. 加入領(lǐng)航者
        • 3. 加入非合作節(jié)點(diǎn)
        • 4. 加入修復(fù)算法
        • 5. 書本中的控制協(xié)議
  • 11.3 非合作行為檢測信息的交互與融合
  • • 11.3.1 問題描述
    • 11.3.2 檢測信息的交互與融合方案
    • 11.3.3 數(shù)值仿真
  • 11.4 結(jié)論

11.1 研究背景

通過一系列模型變換，給出一種僅利用相關(guān)狀態(tài)信息的非合作行為檢測算法。

同樣的思想。該算法通過求解線性系統(tǒng)方程獲得節(jié)點(diǎn)的理論運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，
并將該狀態(tài)與傳感器獲得的節(jié)點(diǎn)實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行比較，
借此觀測非合作行為是否存在。

局部信息交互算法

一致性通信協(xié)議

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11.2 基于鄰居相關(guān)狀態(tài)的非合作行為檢測

所用動(dòng)力學(xué)模型為線性系統(tǒng)模型

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11.2.1 問題描述

最為常用的帶有故障信號的線性節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型為：
$$\begin{gathered} \dot{x_i}(t)=A{x}_i(t)+B{u}_i(t)+B_f{f}_i(t) \\ {y}_i(t)=C{x}_i(t)\text{\hspace{1em}(11.1)} \end{gathered}$$

其標(biāo)準(zhǔn)形式為：
$$\begin{gathered} {\dot{\bar{x}}}_i(t)=A{\bar{x}}_i(t)+B{u}_i(t) \\ {\bar{y}}_i(t)=C{\bar{x}}_i(t)\text{\hspace{1em}(11.2)} \end{gathered}$$

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MAS 的非合作行為檢測問題，由于系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)的合作或是非合作行為體現(xiàn)在對鄰居的影響上，且執(zhí)行非合作行為檢測的鄰居而非節(jié)點(diǎn)本身，即使檢測出具體的故障信號 $f_i(t)$，也只能將節(jié)點(diǎn)隔離而無法針對具體的故障進(jìn)行修復(fù)，因此考慮如下帶有非合作信號的節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型：
$$\begin{gathered} {\dot{\bar{x}}}_i(t)=A{\bar{x}}_i(t)+B{u}_i(t) \\ {y}_i(t)=C{\bar{x}}_i(t)+e_i(t)\text{\hspace{1em}(11.3)} \end{gathered}$$

此模型的物理含義是：
若節(jié)點(diǎn) $i$ 實(shí)際輸出與理論輸出的偏差 $e_i$ 超過系統(tǒng)允許的范圍，則將節(jié)點(diǎn)檢測為非合作節(jié)點(diǎn)。

該模型的好處是：
可以直接分析鄰居的輸出而無需對鄰居具體的狀態(tài)信息進(jìn)行觀測，方法相對簡單且計(jì)算量小，便于在多智能體系統(tǒng)中應(yīng)用。

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對輸出分解成以下兩部分：

$y_{di}(t)\in {\mathbb{R}}^r$ 可以直接測量獲得；

$y_{ui}(t)\in {\mathbb{R}}^{p?r}$ 盡可以測量相關(guān)狀態(tài)信息（即部分信息）。

矩陣 $C$ 和向量 $e_i(t)$ 同樣也分解。

因此，可以獲得帶有相關(guān)狀態(tài)信息的節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型為
$$\begin{array}{rl}{\dot{\bar{x}}}_i(t)& =A{\bar{x}}_i(t)+B{u}_i(t)\\ z_{ij}(t)& =\left[\begin{array}{c}{y}_{dj}(t)\\ y_{ui}(t)?y_{uj}(t)\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}{C}_d{\bar{x}}_j(t)\\ C_u({\bar{x}}_i(t)?{\bar{x}}_j(t))\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{e}_{dj}(t)\\ e_{ui}(t)?e_{uj}(t)\end{array}\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(11.4)}$$

其中，$z_{ij}(t)$ 代表節(jié)點(diǎn)與鄰居之間的相關(guān)狀態(tài)信息。

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11.2.2 非合作行為檢測模型的構(gòu)建

引理11.1 (零點(diǎn)的傳輸阻塞定理)

輸入模態(tài)

輸入模態(tài)

自由模態(tài)

自由模態(tài)

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定理11.1

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傅里葉分解

傅里葉分解

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由定理 11.1 可知，$f_i(t)\equiv 0?e_i(t)\equiv 0$ 成立，
但 $e_i(t)\equiv 0?f_i(t)\equiv 0$ 不一定成立。

模型（11.3）與（11.1）在用來檢測是否有故障信號存在時(shí)時(shí)等價(jià)的。
兩者最主要區(qū)別是
模型（11.1）可以用來確定故障的具體形式，如位置、大小、種類等；
模型（11.3）若用來執(zhí)行故障檢測任務(wù)，則只能確認(rèn)故障是否存在，但若執(zhí)行非合作行為檢測，則可以排除一些不必要的誤檢情況，且計(jì)算量大大減少。

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相關(guān)狀態(tài)信息的引入對系統(tǒng)可觀性的影響。

引理11.2 (PBH 秩判據(jù)定理)

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推論11.1

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對于式（11.4）所示含有相關(guān)狀態(tài)信息的節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型，考慮如下同時(shí)包含節(jié)點(diǎn)與其鄰居節(jié)點(diǎn)模型的擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型：
$$\begin{gathered} {\dot{\hat{x}}}_i(t)=\hat{A}{\hat{x}}_i(t)+\hat{B}{\hat{u}}_i(t) \\ {\hat{\psi }}_i(t)=\hat{C}{\hat{x}}_i(t)+{\hat{e}}_i(t)\text{\hspace{1em}(11.12)} \end{gathered}$$

其中，
${\hat{x}}_i=\text{Col}({\bar{x}}_i,{\bar{x}}_{i_1},?,{\bar{x}}_{i_{n_i}}),i_1,?,i_{n_i}\in N_i$
${\hat{u}}_i=\text{Col}({\bar{u}}_i,{\bar{u}}_{i_1},?,{\bar{u}}_{i_{n_i}})$
${\hat{\psi }}_i=\text{Col}(y_{di},y_{d{i}_1},?,y_{d{i}_{n_i}},y_{ui}?y_{u{i}_1},?,y_{ui}?y_{u{i}_{n_i}})$
${\hat{e}}_i=\text{Col}(e_{di},e_{d{i}_1},?,e_{d{i}_{n_i}},e_{ui}?e_{u{i}_1},?,e_{ui}?e_{u{i}_{n_i}})$
$\hat{A}=I_{n_i+1}?A,\hat{B}=i_{n_i+1}?B$
$\hat{C}=\left[\begin{array}{c}{I}_{n_i+1}?C_d\\ H?C_u\end{array}\right],H=\left[\begin{array}{cc}{1}_{n_i},& ?I_{n_i}\end{array}\right]$

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定理11.2

在擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型（11.12）中，系統(tǒng)（$\hat{C},\hat{A}$）可觀當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)（$C_d,A$）可觀。

由定理11.2可知，相關(guān)狀態(tài)引入后對系統(tǒng)可觀性的影響相當(dāng)于這條信息不存在，若節(jié)點(diǎn)間的信息交互完全基于相關(guān)狀態(tài)信息，則系統(tǒng)必定不可觀。

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雖然在模型（11.3）中非合作信號直接作用于輸出，但要獲得鄰居的理論輸出仍需借助對狀態(tài)的觀測。
由此，本章針對式（11.12）給出一系列模型變換，分解出其可觀測子空間，并借助新的可觀測模型完成非合作行為檢測算法的設(shè)計(jì)。

定義如下模型變換：
$$\begin{gathered} {\hat{x}}_i^0(t)=T_s{\hat{x}}_i(t) \\ {\hat{u}}_i^0(t)=T_c{\hat{u}}_i(t) \\ {\hat{\psi }}_i^0(t)=T_r{\hat{\psi }}_i(t)\text{\hspace{1em}(11.18)} \end{gathered}$$

其中，
$$T_s=$$

$$T_c=$$

$$T_r=$$

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將變換 $T_s$、$T_c$、$T_r$ 應(yīng)用至模型（11.12）中可得
$$\begin{gathered} {\hat{x}}_i^0(t)= \\ {\hat{\psi }}_i^0(t)=\text{\hspace{1em}(11.19)} \end{gathered}$$

其中，
$T_s\hat{A}{T}_s^{?1}=$

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從模型（11.19）中分離出系統(tǒng)的可觀測子空間為
非合作行為檢測模型式（11.20）：
$$\begin{gathered} {\dot{\tilde{x}}}_i(t)=\tilde{A}{\tilde{x}}_i(t)+\tilde{B}{\tilde{u}}_i(t) \\ {\tilde{\psi }}_i(t)=\tilde{C}{\tilde{x}}_i(t)+{\tilde{e}}_i(t)\text{\hspace{1em}(11.20)} \end{gathered}$$

其中，
${\tilde{x}}_i=\text{Col}({\bar{x}}_i?{\bar{x}}_{i_1},?,{\bar{x}}_i?{\bar{x}}_{i_{n_i}})$；
${\tilde{u}}_i=\text{Col}(u_i?u_{i_1},?,u_i?u_{i_{n_i}})$；
${\tilde{\psi }}_i=\text{Col}(y_{di}?y_{d{i}_1},?,y_{di}?y_{d{i}_{n_i}},y_{ui}?y_{u{i}_1},?,y_{ui}?y_{u{i}_{n_i}})$；
${\tilde{e}}_i=\text{Col}(e_{di}?e_{d{i}_1},?,e_{di}?e_{d{i}_{n_i}},e_{ui}?e_{u{i}_1},?,e_{ui}?e_{u{i}_{n_i}})$；
$\tilde{A}=I_{n_i}?A,\tilde{B}=I_{n_i}?B,\tilde{C}=\left[\begin{array}{c}{I}_{n_i}?C_d\\ I_{n_i}?C_u\end{array}\right]$

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定理11.3

在擴(kuò)展動(dòng)力學(xué)模型（11.20）中，系統(tǒng)（$\tilde{C},\tilde{A}$）完全可觀。

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經(jīng)過上述一系列模型變換，最終得到節(jié)點(diǎn) $i$ 的非合作行為檢測模型為式（11.20）。

該模型不受節(jié)點(diǎn)間的相關(guān)狀態(tài)信息影響，且本身具有分布式特性，可應(yīng)用于系統(tǒng)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)，實(shí)時(shí)完成對非合作節(jié)點(diǎn)的檢測。

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11.2.3 非合作行為檢測算法的設(shè)計(jì)

1. 非合作信號重構(gòu)算法

模型（11.20）的標(biāo)準(zhǔn)形式可寫成
$$\begin{gathered} {\dot{\tilde{x}}}_i(t)=\tilde{A}{\tilde{x}}_i(t)+\tilde{B}{\tilde{u}}_i(t) \\ {\bar{\psi }}_i(t)=\tilde{C}{\tilde{x}}_i(t)\text{\hspace{1em}(11.22)} \end{gathered}$$

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對于連續(xù)的非合作行為檢測算法，${\tilde{x}}_i(t_0)=0$ 可直接應(yīng)用；
但若檢測算法是周期性的，或是事件觸發(fā)的，則需要一個(gè)狀態(tài)觀測器來觀測算法起始時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)。

狀態(tài)觀測器

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首先構(gòu)造用于狀態(tài)觀測的系統(tǒng)模型：
$${\dot{\tilde{x}}}_i(t)=\tilde{A}{\tilde{x}}_i(t)+\text{\hspace{1em}(11.26)}$$

針對式（11.26）設(shè)計(jì)一個(gè)未知輸入觀測器，結(jié)構(gòu)為
$$\begin{gathered} {\dot{z}}_i(t)=F{z}_i(t)+T\tilde{B}{\tilde{u}}_i(t)+K{\tilde{\psi }}_i(t) \\ {\hat{\tilde{x}}}_i(t)=z_i(t)+H{\tilde{\psi }}_i(t)\text{\hspace{1em}(11.27)} \end{gathered}$$

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切比雪夫不等式

切比雪夫不等式
切比雪夫定理切比雪夫不等式的提出 19世紀(jì)俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫研究統(tǒng)計(jì)規(guī)律中，論證并用標(biāo)準(zhǔn)差表達(dá)了一個(gè)不等式，這個(gè)不等式具有普遍的意義，被稱作切比雪夫定理，其大意是： 任意一個(gè)數(shù)據(jù)集中，位于其平均數(shù)m個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的比例（或部分）總是至少為1－1/m 2，其中m為大于1的任意正數(shù)。
定理：
設(shè)隨機(jī)變量 $X$ 具有數(shù)學(xué)期望 $E(X)=\mu$，方差 $D(X)={\sigma }^2$ 則對任意正數(shù) $\epsilon$，不等式 $P\{|X?\mu |\ge \epsilon \}\le \frac{{\sigma }^2}{{\epsilon }^2}$ 或 $P\{|X?\mu |<\epsilon \}\ge 1?\frac{{\sigma }^2}{{\epsilon }^2}$ 成立。
注意：
應(yīng)用切比雪夫不等式必須滿足 $E(X)$ 和 $D(X)$ 存在且有限這一條件。

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11.2.4 數(shù)值仿真

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1. 單純的通信和達(dá)到一致

注意：因?yàn)樘^復(fù)雜因此暫時(shí)未采用書中給出的控制協(xié)議

% 仿真實(shí)驗(yàn)clear; clc;PX0 = [ 1, 1, 7, 4, 4, 6, 7, 9, 7, 9, 4, 6]'; PY0 = [ 3, 6, 1, 6, 9, 2, 4, 2, 6, 9, 1, 9]'; VX0 = [1.5, -2, 1.2, 1.5, 0,-2.4, 3, 1.8, 0.8,-0.6, 2.3, 2.5]'; VY0 = [1.5, 2.5, 1.5,-1.5, 3, 1.2, 0, 1.2,-0.4, -3,-1.2, 2.5]'; PXt(:, 1) = PX0; PYt(:, 1) = PY0; VXt(:, 1) = VX0; VYt(:, 1) = VY0; % UXt(:, 1) = zeros(12,1);Z0 = [];A =[0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0;1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0;0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0;0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1;0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0;0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0;0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1;0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1;1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1;];D =[2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3;];L = D - A;% 時(shí)間參數(shù) tbegin = 0; tfinal = 20; dT = 0.1; T(:,1) = 0; % 計(jì)算次數(shù) times = (tfinal - tbegin) / dT;for time = 1:1:times% 記錄時(shí)間T(:, time+1) = T(:, time) + dT;% 記錄狀態(tài)UXt(:, time) = dT * (L * PXt(:, time) + L * VXt(:, time));VXt(:, time+1) = VXt(:, time) - UXt(:, time);PXt(:, time+1) = PXt(:, time) + dT * VXt(:, time);UYt(:, time) = dT * (L * PYt(:, time) + L * VYt(:, time));VYt(:, time+1) = VYt(:, time) - UYt(:, time);PYt(:, time+1) = PYt(:, time) + dT * VYt(:, time);endsubplot(2,2,1) plot(T(1,:),VXt(1,:),'-', T(1,:),VXt(2,:),':', T(1,:),VXt(3,:),'--', T(1,:),VXt(4,:),'-.',...T(1,:),VXt(5,:), T(1,:),VXt(6,:), T(1,:),VXt(7,:), T(1,:),VXt(8,:),...T(1,:),VXt(9,:), T(1,:),VXt(10,:), T(1,:),VXt(11,:), T(1,:),VXt(12,:),...'linewidth',1) grid on legend('VX_1', 'VX_2', 'VX_3', 'VX_4', 'VX_5', 'VX_6', 'VX_7', 'VX_8', 'VX_9', 'VX_10', 'VX_11', 'VX_12');subplot(2,2,2) plot(T(1,:),PXt(1,:),'-', T(1,:),PXt(2,:),':', T(1,:),PXt(3,:),'--', T(1,:),PXt(4,:),'-.',...T(1,:),PXt(5,:), T(1,:),PXt(6,:), T(1,:),PXt(7,:), T(1,:),PXt(8,:),...T(1,:),PXt(9,:), T(1,:),PXt(10,:), T(1,:),PXt(11,:), T(1,:),PXt(12,:),...'linewidth',1) grid on legend('PX_1', 'PX_2', 'PX_3', 'PX_4', 'PX_5', 'PX_6', 'PX_7', 'PX_8', 'PX_9', 'PX_10', 'PX_11', 'PX_12');subplot(2,2,3) plot(T(1,:),VYt(1,:),'-', T(1,:),VYt(2,:),':', T(1,:),VYt(3,:),'--', T(1,:),VYt(4,:),'-.',...T(1,:),VYt(5,:), T(1,:),VYt(6,:), T(1,:),VYt(7,:), T(1,:),VYt(8,:),...T(1,:),VYt(9,:), T(1,:),VYt(10,:), T(1,:),VYt(11,:), T(1,:),VYt(12,:),...'linewidth',1) grid on legend('VY_1', 'VY_2', 'VY_3', 'VY_4', 'VY_5', 'VY_6', 'VY_7', 'VY_8', 'VY_9', 'VY_10', 'VY_11', 'VY_12');subplot(2,2,4) plot(T(1,:),PYt(1,:),'-', T(1,:),PYt(2,:),':', T(1,:),PYt(3,:),'--', T(1,:),PYt(4,:),'-.',...T(1,:),PYt(5,:), T(1,:),PYt(6,:), T(1,:),PYt(7,:), T(1,:),PYt(8,:),...T(1,:),PYt(9,:), T(1,:),PYt(10,:), T(1,:),PYt(11,:), T(1,:),PYt(12,:),...'linewidth',1) grid on legend('PY_1', 'PY_2', 'PY_3', 'PY_4', 'PY_5', 'PY_6', 'PY_7', 'PY_8', 'PY_9', 'PY_10', 'PY_11', 'PY_12');

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2. 加入領(lǐng)航者

for time = 1:1:times% 記錄時(shí)間T(:, time+1) = T(:, time) + dT;% 記錄狀態(tài)UXt(:, time) = dT * (L * PXt(:, time) + L * VXt(:, time));VXt(:, time+1) = VXt(:, time) - UXt(:, time);VXt(2, time+1) = -2; % 加入領(lǐng)航者PXt(:, time+1) = PXt(:, time) + dT * VXt(:, time);UYt(:, time) = dT * (L * PYt(:, time) + L * VYt(:, time));VYt(:, time+1) = VYt(:, time) - UYt(:, time);VYt(2, time+1) = 2.5; % 加入領(lǐng)航者PYt(:, time+1) = PYt(:, time) + dT * VYt(:, time);end

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3. 加入非合作節(jié)點(diǎn)

for time = 1:1:times% 記錄時(shí)間T(:, time+1) = T(:, time) + dT;% 記錄狀態(tài)UXt(:, time) = dT * (L * PXt(:, time) + L * VXt(:, time));VXt(:, time+1) = VXt(:, time) - UXt(:, time);VXt(2, time+1) = -2; % 加入領(lǐng)航者% 加入非合作行為if time >= 71EXt(7, time) = -VXt(7, time); % 毀壞型% EXt(7, time) = -VXt(7, time) - 0.5; % 失控型% EXt(7, time) = -VXt(7, time) - 0.5*(rand-0.5); % 干擾型VXt(7, time) = VXt(7, time) + EXt(7, time);endPXt(:, time+1) = PXt(:, time) + dT * VXt(:, time);UYt(:, time) = dT * (L * PYt(:, time) + L * VYt(:, time));VYt(:, time+1) = VYt(:, time) - UYt(:, time);VYt(2, time+1) = 2.5; % 加入領(lǐng)航者% 加入非合作行為if time >= 71EYt(7, time) = -VYt(7, time); % 毀壞型% EYt(7, time) = -VYt(7, time) - 0.5; % 失控型% EYt(7, time) = -VYt(7, time) - 0.5*(rand-0.5); % 干擾型VYt(7, time) = VYt(7, time) + EYt(7, time);endPYt(:, time+1) = PYt(:, time) + dT * VYt(:, time);Vt (:, time+1) = sqrt( (VXt(:,time+1)).^2 + (VYt(:,time+1)).^2 );end

毀壞型：

失控型：

干擾型：

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4. 加入修復(fù)算法

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5. 書本中的控制協(xié)議

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2021-03-17 Update:

如書中所示，$t=7s$ 時(shí)，系統(tǒng)其他節(jié)點(diǎn)基本發(fā)生一致。
但同時(shí)，非合作節(jié)點(diǎn) $i=7$ 開始出現(xiàn)毀壞型非合作行為。

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11.3 非合作行為檢測信息的交互與融合

11.3.1 問題描述

11.3.2 檢測信息的交互與融合方案

11.3.3 數(shù)值仿真

11.4 結(jié)論

自娛一下，抽象派畫師作畫：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【控制】《多智能体系统的协同群集运动控制》陈杰老师-第11章-基于邻居相关状态的多智能体非合作行为检测与隔离的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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