差分 差分方程

• 差分 差分方程
• • 1. 差分
  • • 1.1 前向差分（默認）
    • 1.2 后向差分
    • 1.3 中心差分
  • 2. 差分方程

差分 差分方程

1. 差分

差分（difference）又名差分函數或差分運算，差分的結果反映了離散量之間的一種變化，是研究離散數學的一種工具。它將原函數 $f(x)$ 映射到 $f(x+a)?f(x+b)$ 。

差分運算，相應于微分運算，是微積分中重要的一個概念。

總而言之，差分對應離散，微分對應連續。

差分又分為前向差分、向后差分及中心差分三種。

在社會經濟活動與自然科學研究中,我們經常遇到與時間t有關的變量,而人們往往又只能觀察或記錄到這些變量在離散的t時的值。對于這類變量,如何去研究它們的相互關系,就離不開差分與差分方程的工具。微積分中的微分與微分方程的工具,事實上來源于差分與差分方程.因此差分與差分方程更是原始的客觀的生動的材料。

讀者熟悉等差數列：$a_1,a_2,a_3,?,a_n$，其中 $a_{n+1}=a_n+d（n=1,2,?,n）$，$d$ 為常數并稱為公差， 即 $d=a_{n+1}?a_n$ , 這就是一個差分, 通常用 $D(a_n)=a_{n+1}?a_n$ 來表示，于是有 $D(a_n)=d$ , 這是一個最簡單形式的差分方程。

定義. 設變量 $y$ 依賴于自變量 $t$ ,當 $t$ 變到 $t+1$ 時,因變量 $y=y(t)$ 的改變量 $Dy(t)=y(t+1)?y(t)$ 稱為函數 $y(t)$ 在點 $t$ 處步長為1的(一階)差分，記作 $Dy1=y(t+1)?y(t)$，簡稱為函數 $y(t)$ 的(一階)差分,并稱 $D$ 為差分算子。

差分具有類似于微分的運算性質。

1.1 前向差分（默認）

函數的前向差分通常簡稱為函數的差分。對于函數 $f(x)$，如果在等距節點： $$x_k=x_0+kh,(h=0,1,?,n)$$$$\Delta f(x_k)=f(x_{k+1})?f(x_k)$$

則稱 $\Delta f(x_k)$，函數在每個小區間上的增量 $y(x_{k+1})?y(x_k)$ 為 $f(x)$ 的一階前向差分。

在微積分學中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在離散的函數中的等效運算。

差分方程的解法也與微分方程的解法相似。當是多項式時，前向差分為 $\Delta$ 算子，一種線性運算。

前向差分會將多項式階數降低1。

1.2 后向差分

對于函數 $f(x_k)$，一階后向差分為：$$\Delta f(x_k)=f(x_k)?f(x_{k?1})$$

1.3 中心差分

對于函數 $f(x_k)$，一階中心差分為：$$\Delta f(x_k)=\frac{1}{2}(f(x_{k+1})?f(x_{k?1}))$$

2. 差分方程

differences equations

差分方程是微分方程的離散化。一個微分方程不一定可以解出精確的解，把它變成差分方程，就可以求出近似的解來。

比如 $dy+y?dx=0,y(0)=1$ 是一個微分方程， $x$ 取值 $[0,1]$ （注：解為 $y(x)=e^{?x})$; 　要實現微分方程的離散化，可以把x的區間分割為許多小區間 [0,1/n],[1/n,2/n],…[(n-1）/n,1] 　這樣上述微分方程可以離散化為：y((k+1）/n)-y(k/n)+y(k/n)*（1/n)=0， k=0,1,2,…,n-1 （n 個離散方程組） 　利用y(0)=1的條件，以及上面的差分方程，就可以計算出 y(k/n) 的近似值了。

From: 差分-百度百科

總結

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