常微分方程分類及求解

• 1. 基本概念
• • 1.1. 微分方程 (Differential Equation, D.E.)
  • 1.2. 常微分方程
  • 1.3. 解
  • 1.4. 通解
  • • 1.5. 通積分
  • 1.5. 階
  • 1.6. 齊次
  • 1.7. 線性
  • 1.8. 定解條件
  • 1.9. 特解
  • 1.10. 顯函數(shù)形式
  • 1.11. 隱函數(shù)形式
• 2. 求解方法
• • 2.1. 可分離變量型
  • 2.2. 齊次型
  • 2.3. 一階齊次線性型
  • 2.4. 一階非齊次線性型
  • 2.5. 可降階型
  • 2.6. 二階可降階型（缺y）
  • 2.7. 二階可降階型（缺x）
  • 2.8. 二階常系數(shù)齊次線性型
  • 2.9. 二階常系數(shù)非齊次線性型
• 3. 解的性質(zhì)
• • 3.1. 線性組成
  • 3.2. 線性無(wú)關(guān)
  • 3.3. 疊加原理

1. 基本概念

在學(xué)習(xí)常微分方程之前，我們先了解一些基本的概念；我們?cè)谥袑W(xué)的時(shí)候都學(xué)過(guò)解方程（如：$x^2+5=0$ ），不過(guò)那都是函數(shù)方程（ $f(x)=0$，即含有未知數(shù) $x$ 的方程）。

因此，我們就引出了一個(gè)新的概念，什么是微分方程？

1.1. 微分方程 (Differential Equation, D.E.)

方程中含有未知函數(shù)的**導(dǎo)數(shù)（或稱微分項(xiàng)）**的關(guān)系式，如：$$y^{\prime }+5y=3x(y=f(x))$$

因此，我們便可知道函數(shù)方程是關(guān)于未知數(shù) $x$ 的，而微分方程是關(guān)于 $x$ 的導(dǎo)數(shù)或微分的。

1.2. 常微分方程

一個(gè)未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式，如：$$f^{\prime }(x)?7f(x)=0$$

這個(gè)“常” (Ordinary) 表示平常，也就是一般情況（理想情況）下的微分方程，這個(gè)方程只有一個(gè)未知函數(shù)；正因?yàn)槿绱?#xff0c;我們?cè)谏形催M(jìn)行特殊說(shuō)明的情況下，默認(rèn) D.E. 表示常微分方程。

1.3. 解

能使 D.E. 的關(guān)系式恒成立的函數(shù)，形如 $$y=f(x)$$

先回顧以下我們熟悉的函數(shù)方程，它的解是什么？是滿足函數(shù)關(guān)系式的未知數(shù)，也就是 $x=C(C一般是常數(shù))$；不難推出 D.E. 的解也要滿足關(guān)系式，是長(zhǎng)成 $y=f(x)$ 的樣子。

1.4. 通解

帶有常數(shù) $C$ 的解，如：$$y=C_1{x}^2+C_2{e}^x(有兩項(xiàng))$$

1.5. 通積分

1.5. 階

1.6. 齊次

1.7. 線性

1.8. 定解條件

1.9. 特解

1.10. 顯函數(shù)形式

1.11. 隱函數(shù)形式

2. 求解方法

2.1. 可分離變量型

2.2. 齊次型

2.3. 一階齊次線性型

$$y^{\prime }+p(x)y=0$$

方程組的形式為：
$$Ax=0$$

2.4. 一階非齊次線性型

$$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$$

方程組的形式為：
$$Ax=b$$

2.5. 可降階型

2.6. 二階可降階型（缺y）

2.7. 二階可降階型（缺x）

2.8. 二階常系數(shù)齊次線性型

2.9. 二階常系數(shù)非齊次線性型

3. 解的性質(zhì)

3.1. 線性組成

3.2. 線性無(wú)關(guān)

3.3. 疊加原理

From: （回憶大學(xué)所學(xué)）常微分方程

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数理知识】神仙文章（回忆大学所学）常微分方程的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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